IME / ITA ⇒ trigonometria ITA/IME Tópico resolvido

[gabrielmacc]

01) Prove que em um triângulo ABC é válida a relação
𝑠𝑒𝑛 2𝐴 +𝑠𝑒𝑛 2𝐵 + 𝑠𝑒𝑛 2𝐶 = 4. 𝑠𝑒𝑛 𝐴. 𝑠𝑒𝑛 𝐵. 𝑠𝑒𝑛 C

fiquei em duvida em quais identidades usar

[petras]

gabrielmacc,

sen 2x = 2.(sen x).(cos x)

sen 2A + sen 2B + sen 2C = 2.(sen A).(cos A) + 2.(sen B).(cos B) + 2.(sen C).(cos C)

Sabemos também que sen x = sen (180° – x), então como (B + C) = 180° – A
sen A = sen (B + C)
sen B = sen (A + C)
sen C = sen (A + B)

Então:
= 2.(sen A).(cos A) + 2.(sen B).(cos B) + 2.(sen C).(cos C)
= 2.[sen (B + C)].(cos A) + 2.[sen (A + C)].(cos B) + 2.[sen (A + B)].(cos C)

E agora usaremos sen (x + y) = (sen x).(cos y) + (sen y).(cos x):
= 2.[sen (B + C)].(cos A) + 2.[sen (A + C)].(cos B) + 2.[sen (A + B)].(cos C)
= 2.[(sen B).(cos C) + (sen C).(cos B)].(cos A) + 2.[(sen A).(cos C) + (sen C).(cos A)].(cos B) + 2.[(sen A).(cos B) + (sen B).(cos A)].(cos C)
= 2.(sen B).(cos C).(cos A) + 2.(sen C).(cos B).(cos A) + 2.(sen A).(cos C).(cos B) + 2.(sen C).(cos A).(cos B) + 2.(sen A).(cos B).(cos C) + 2.(sen B).(cos A).(cos C)

Agrupando os termos iguais:
= 4.(sen B).(cos C).(cos A) + 4.(sen C).(cos B).(cos A) + 4.(sen A).(cos C).(cos B)

Colocando cos A em evidência nos dois primeiros termos:
= 4.(cos A).[(sen B).(cos C) + (sen C).(cos B)] + 4.(sen A).(cos C).(cos B)
= 4.(cos A).[sen (B + C)] + 4.(sen A).(cos C).(cos B)
= 4.(cos A).(sen A) + 4.(sen A).(cos C).(cos B)
= 4.(sen A).[(cos A) + (cos C).(cos B)]

Mas também sabemos que cos x = -cos (180° – x). Assim temos:
cos A = -cos (B + C)

Então:
= 4.(sen A).[(cos A) + (cos C).(cos B)]
= 4.(sen A).[-cos (B + C) + (cos C).(cos B)]

E agora usamos que cos (x + y) = (cos x).(cos y) – (sen x).(sen y):
= 4.(sen A).[-cos (B + C) + (cos C).(cos B)]
= 4.(sen A).{-[(cos B).(cos C) – (sen B).(sen C)] + (cos C).(cos B)}
= 4.(sen A).[-(cos B).(cos C) + (sen B).(sen C) + (cos C).(cos B)]
= 4.(sen A).(sen B).(sen C)

(Solução:CInoto)

[petras]

gabrielmacc,

Outra maneira


[tex3]A + B + C = 180, \implies 2A + 2B + 2C = 360.\\
sin x + sin y = 2 sin\frac{ (x + y)}{ 2}. cos\frac{(x – y)}{ 2}\\
sin 2A + sin 2B + sin 2C\\
= (sin 2A + sin 2B) + sin 2C\\
= 2 sin\frac{(2A + 2B)}{2} cos\frac{[(2A – 2B)}{2}+ sin [360 – 2(A + B)]\\
= 2 sin(A + B) cos(A – B) – sin[2(A + B)]\\
= 2 sin(A + B) cos(A – B) – 2 sin(A + B) cos(A + B)\\
= 2 sin(A + B) (cos(A – B) – cos(A + B)]\\
= 2 sin(180 - C) [cos A cos B + sin A sin B - cos A cos B + sin A sin B)\\
= 2 sin C (2 sin A sin B)\\
= 4 sin A sin B sin C.[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]A + B + C = 180, \implies 2A + 2B + 2C = 360.\\
sin x + sin y = 2 sin\frac{ (x + y)}{ 2}. cos\frac{(x – y)}{ 2}\\
sin 2A + sin 2B + sin 2C\\
= (sin 2A + sin 2B) + sin 2C\\
= 2 sin\frac{(2A + 2B)}{2} cos\frac{[(2A – 2B)}{2}+ sin [360 – 2(A + B)]\\
= 2 sin(A + B) cos(A – B) – sin[2(A + B)]\\
= 2 sin(A + B) cos(A – B) – 2 sin(A + B) cos(A + B)\\
= 2 sin(A + B) (cos(A – B) – cos(A + B)]\\
= 2 sin(180 - C) [cos A cos B + sin A sin B - cos A cos B + sin A sin B)\\
= 2 sin C (2 sin A sin B)\\
= 4 sin A sin B sin C.[/tex3]

(Solução:DavidDodson)

[ProfLaplace]

Veja que a relação que ele dá transforma soma de senos em produto de senos. Isso é um forte indício para usarmos as fórmulas de prostaferese.
Some [tex3]\sen{2A}+\sen{2B}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sen{2A}+\sen{2B}[/tex3]

usando a fórmula de prostaferese. Você vai obter:
[tex3]\sen{2A}+\sen{2B}+\sen{2C}=2\cdot\sen{\left(\frac{2A+2B}{2}\right)}\cdot\cos{\left(\frac{2A-2B}{2}\right)}+\sen{2C}=2\cdot\sen{(A+B)}\cdot\cos{(A-B)}+\sen{2C}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sen{2A}+\sen{2B}+\sen{2C}=2\cdot\sen{\left(\frac{2A+2B}{2}\right)}\cdot\cos{\left(\frac{2A-2B}{2}\right)}+\sen{2C}=2\cdot\sen{(A+B)}\cdot\cos{(A-B)}+\sen{2C}[/tex3]

.
Mas A, B e C são ângulos de um triângulo, então [tex3]A+B=\pi-C[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]A+B=\pi-C[/tex3]

. Portanto, [tex3]\sen{(A+B)}=\sen{(\pi-C)}=\sen{C}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sen{(A+B)}=\sen{(\pi-C)}=\sen{C}[/tex3]

. Voltando na equação anterior e usando também a fórmula do arco duplo, tem-se:
[tex3]\sen{2A}+\sen{2B}+\sen{2C}=2\cdot\sen{C}\cdot\cos{(A-B)}+2\cdot\sen{C}\cdot\cos{C}=2\sen{C}\cdot(\cos{C}+\cos{(A-B)})[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sen{2A}+\sen{2B}+\sen{2C}=2\cdot\sen{C}\cdot\cos{(A-B)}+2\cdot\sen{C}\cdot\cos{C}=2\sen{C}\cdot(\cos{C}+\cos{(A-B)})[/tex3]

. Vamos usar prostaferese novamente dentro do parêntesis. E vamos também usar que [tex3]A+B+C=\pi[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]A+B+C=\pi[/tex3]

. Teremos:
[tex3]\sen{2A}+\sen{2B}+\sen{2C}=2\sen{C}\cdot(2\cdot\cos{\left(\frac{\pi}{2}-B\right)}\cdot\cos{\left(\frac{\pi}{2}-A\right)})=4\cdot\sen{A}\cdot\sen{B}\cdot\sen{C}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sen{2A}+\sen{2B}+\sen{2C}=2\sen{C}\cdot(2\cdot\cos{\left(\frac{\pi}{2}-B\right)}\cdot\cos{\left(\frac{\pi}{2}-A\right)})=4\cdot\sen{A}\cdot\sen{B}\cdot\sen{C}[/tex3]

.