01) Prove que em um triângulo ABC é válida a relação
𝑠𝑒𝑛 2𝐴 +𝑠𝑒𝑛 2𝐵 + 𝑠𝑒𝑛 2𝐶 = 4. 𝑠𝑒𝑛 𝐴. 𝑠𝑒𝑛 𝐵. 𝑠𝑒𝑛 C
fiquei em duvida em quais identidades usar
Olá, Comunidade!
Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).
Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero )
Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
Mas, se você encontrar alguma coisa diferente, que não funciona direito, me envie uma MP avisando que eu arranjo um tempo pra arrumar!
Vamos crescer essa comunidade juntos
Grande abraço a todos,
Prof. Caju
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Prof. Caju
IME / ITA ⇒ trigonometria ITA/IME Tópico resolvido
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Mar 2024
17
21:06
Re: trigonometria ITA/IME
gabrielmacc,
sen 2x = 2.(sen x).(cos x)
sen 2A + sen 2B + sen 2C = 2.(sen A).(cos A) + 2.(sen B).(cos B) + 2.(sen C).(cos C)
Sabemos também que sen x = sen (180° – x), então como (B + C) = 180° – A
sen A = sen (B + C)
sen B = sen (A + C)
sen C = sen (A + B)
Então:
= 2.(sen A).(cos A) + 2.(sen B).(cos B) + 2.(sen C).(cos C)
= 2.[sen (B + C)].(cos A) + 2.[sen (A + C)].(cos B) + 2.[sen (A + B)].(cos C)
E agora usaremos sen (x + y) = (sen x).(cos y) + (sen y).(cos x):
= 2.[sen (B + C)].(cos A) + 2.[sen (A + C)].(cos B) + 2.[sen (A + B)].(cos C)
= 2.[(sen B).(cos C) + (sen C).(cos B)].(cos A) + 2.[(sen A).(cos C) + (sen C).(cos A)].(cos B) + 2.[(sen A).(cos B) + (sen B).(cos A)].(cos C)
= 2.(sen B).(cos C).(cos A) + 2.(sen C).(cos B).(cos A) + 2.(sen A).(cos C).(cos B) + 2.(sen C).(cos A).(cos B) + 2.(sen A).(cos B).(cos C) + 2.(sen B).(cos A).(cos C)
Agrupando os termos iguais:
= 4.(sen B).(cos C).(cos A) + 4.(sen C).(cos B).(cos A) + 4.(sen A).(cos C).(cos B)
Colocando cos A em evidência nos dois primeiros termos:
= 4.(cos A).[(sen B).(cos C) + (sen C).(cos B)] + 4.(sen A).(cos C).(cos B)
= 4.(cos A).[sen (B + C)] + 4.(sen A).(cos C).(cos B)
= 4.(cos A).(sen A) + 4.(sen A).(cos C).(cos B)
= 4.(sen A).[(cos A) + (cos C).(cos B)]
Mas também sabemos que cos x = -cos (180° – x). Assim temos:
cos A = -cos (B + C)
Então:
= 4.(sen A).[(cos A) + (cos C).(cos B)]
= 4.(sen A).[-cos (B + C) + (cos C).(cos B)]
E agora usamos que cos (x + y) = (cos x).(cos y) – (sen x).(sen y):
= 4.(sen A).[-cos (B + C) + (cos C).(cos B)]
= 4.(sen A).{-[(cos B).(cos C) – (sen B).(sen C)] + (cos C).(cos B)}
= 4.(sen A).[-(cos B).(cos C) + (sen B).(sen C) + (cos C).(cos B)]
= 4.(sen A).(sen B).(sen C)
(Solução:CInoto)
sen 2x = 2.(sen x).(cos x)
sen 2A + sen 2B + sen 2C = 2.(sen A).(cos A) + 2.(sen B).(cos B) + 2.(sen C).(cos C)
Sabemos também que sen x = sen (180° – x), então como (B + C) = 180° – A
sen A = sen (B + C)
sen B = sen (A + C)
sen C = sen (A + B)
Então:
= 2.(sen A).(cos A) + 2.(sen B).(cos B) + 2.(sen C).(cos C)
= 2.[sen (B + C)].(cos A) + 2.[sen (A + C)].(cos B) + 2.[sen (A + B)].(cos C)
E agora usaremos sen (x + y) = (sen x).(cos y) + (sen y).(cos x):
= 2.[sen (B + C)].(cos A) + 2.[sen (A + C)].(cos B) + 2.[sen (A + B)].(cos C)
= 2.[(sen B).(cos C) + (sen C).(cos B)].(cos A) + 2.[(sen A).(cos C) + (sen C).(cos A)].(cos B) + 2.[(sen A).(cos B) + (sen B).(cos A)].(cos C)
= 2.(sen B).(cos C).(cos A) + 2.(sen C).(cos B).(cos A) + 2.(sen A).(cos C).(cos B) + 2.(sen C).(cos A).(cos B) + 2.(sen A).(cos B).(cos C) + 2.(sen B).(cos A).(cos C)
Agrupando os termos iguais:
= 4.(sen B).(cos C).(cos A) + 4.(sen C).(cos B).(cos A) + 4.(sen A).(cos C).(cos B)
Colocando cos A em evidência nos dois primeiros termos:
= 4.(cos A).[(sen B).(cos C) + (sen C).(cos B)] + 4.(sen A).(cos C).(cos B)
= 4.(cos A).[sen (B + C)] + 4.(sen A).(cos C).(cos B)
= 4.(cos A).(sen A) + 4.(sen A).(cos C).(cos B)
= 4.(sen A).[(cos A) + (cos C).(cos B)]
Mas também sabemos que cos x = -cos (180° – x). Assim temos:
cos A = -cos (B + C)
Então:
= 4.(sen A).[(cos A) + (cos C).(cos B)]
= 4.(sen A).[-cos (B + C) + (cos C).(cos B)]
E agora usamos que cos (x + y) = (cos x).(cos y) – (sen x).(sen y):
= 4.(sen A).[-cos (B + C) + (cos C).(cos B)]
= 4.(sen A).{-[(cos B).(cos C) – (sen B).(sen C)] + (cos C).(cos B)}
= 4.(sen A).[-(cos B).(cos C) + (sen B).(sen C) + (cos C).(cos B)]
= 4.(sen A).(sen B).(sen C)
(Solução:CInoto)
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Mar 2024
17
21:25
Re: trigonometria ITA/IME
gabrielmacc,
Outra maneira
[tex3]A + B + C = 180, \implies 2A + 2B + 2C = 360.\\
sin x + sin y = 2 sin\frac{ (x + y)}{ 2}. cos\frac{(x – y)}{ 2}\\
sin 2A + sin 2B + sin 2C\\
= (sin 2A + sin 2B) + sin 2C\\
= 2 sin\frac{(2A + 2B)}{2} cos\frac{[(2A – 2B)}{2}+ sin [360 – 2(A + B)]\\
= 2 sin(A + B) cos(A – B) – sin[2(A + B)]\\
= 2 sin(A + B) cos(A – B) – 2 sin(A + B) cos(A + B)\\
= 2 sin(A + B) (cos(A – B) – cos(A + B)]\\
= 2 sin(180 - C) [cos A cos B + sin A sin B - cos A cos B + sin A sin B)\\
= 2 sin C (2 sin A sin B)\\
= 4 sin A sin B sin C.[/tex3]
(Solução:DavidDodson)
Outra maneira
[tex3]A + B + C = 180, \implies 2A + 2B + 2C = 360.\\
sin x + sin y = 2 sin\frac{ (x + y)}{ 2}. cos\frac{(x – y)}{ 2}\\
sin 2A + sin 2B + sin 2C\\
= (sin 2A + sin 2B) + sin 2C\\
= 2 sin\frac{(2A + 2B)}{2} cos\frac{[(2A – 2B)}{2}+ sin [360 – 2(A + B)]\\
= 2 sin(A + B) cos(A – B) – sin[2(A + B)]\\
= 2 sin(A + B) cos(A – B) – 2 sin(A + B) cos(A + B)\\
= 2 sin(A + B) (cos(A – B) – cos(A + B)]\\
= 2 sin(180 - C) [cos A cos B + sin A sin B - cos A cos B + sin A sin B)\\
= 2 sin C (2 sin A sin B)\\
= 4 sin A sin B sin C.[/tex3]
(Solução:DavidDodson)
Editado pela última vez por petras em 17 Mar 2024, 21:47, em um total de 2 vezes.
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Mar 2024
17
21:56
Re: trigonometria ITA/IME
Veja que a relação que ele dá transforma soma de senos em produto de senos. Isso é um forte indício para usarmos as fórmulas de prostaferese.
Some [tex3]\sen{2A}+\sen{2B}[/tex3] usando a fórmula de prostaferese. Você vai obter:
[tex3]\sen{2A}+\sen{2B}+\sen{2C}=2\cdot\sen{\left(\frac{2A+2B}{2}\right)}\cdot\cos{\left(\frac{2A-2B}{2}\right)}+\sen{2C}=2\cdot\sen{(A+B)}\cdot\cos{(A-B)}+\sen{2C}[/tex3] .
Mas A, B e C são ângulos de um triângulo, então [tex3]A+B=\pi-C[/tex3] . Portanto, [tex3]\sen{(A+B)}=\sen{(\pi-C)}=\sen{C}[/tex3] . Voltando na equação anterior e usando também a fórmula do arco duplo, tem-se:
[tex3]\sen{2A}+\sen{2B}+\sen{2C}=2\cdot\sen{C}\cdot\cos{(A-B)}+2\cdot\sen{C}\cdot\cos{C}=2\sen{C}\cdot(\cos{C}+\cos{(A-B)})[/tex3] . Vamos usar prostaferese novamente dentro do parêntesis. E vamos também usar que [tex3]A+B+C=\pi[/tex3] . Teremos:
[tex3]\sen{2A}+\sen{2B}+\sen{2C}=2\sen{C}\cdot(2\cdot\cos{\left(\frac{\pi}{2}-B\right)}\cdot\cos{\left(\frac{\pi}{2}-A\right)})=4\cdot\sen{A}\cdot\sen{B}\cdot\sen{C}[/tex3] .
Some [tex3]\sen{2A}+\sen{2B}[/tex3] usando a fórmula de prostaferese. Você vai obter:
[tex3]\sen{2A}+\sen{2B}+\sen{2C}=2\cdot\sen{\left(\frac{2A+2B}{2}\right)}\cdot\cos{\left(\frac{2A-2B}{2}\right)}+\sen{2C}=2\cdot\sen{(A+B)}\cdot\cos{(A-B)}+\sen{2C}[/tex3] .
Mas A, B e C são ângulos de um triângulo, então [tex3]A+B=\pi-C[/tex3] . Portanto, [tex3]\sen{(A+B)}=\sen{(\pi-C)}=\sen{C}[/tex3] . Voltando na equação anterior e usando também a fórmula do arco duplo, tem-se:
[tex3]\sen{2A}+\sen{2B}+\sen{2C}=2\cdot\sen{C}\cdot\cos{(A-B)}+2\cdot\sen{C}\cdot\cos{C}=2\sen{C}\cdot(\cos{C}+\cos{(A-B)})[/tex3] . Vamos usar prostaferese novamente dentro do parêntesis. E vamos também usar que [tex3]A+B+C=\pi[/tex3] . Teremos:
[tex3]\sen{2A}+\sen{2B}+\sen{2C}=2\sen{C}\cdot(2\cdot\cos{\left(\frac{\pi}{2}-B\right)}\cdot\cos{\left(\frac{\pi}{2}-A\right)})=4\cdot\sen{A}\cdot\sen{B}\cdot\sen{C}[/tex3] .
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