Se as raízes de [tex3] f(x) = 3x³ - 14x² + x + 62[/tex3]
são a, b e c, determine o valor de:
[tex3]74(\frac{1}{a + 3 } + \frac {1}{b + 3} + \frac {1}{c + 3})[/tex3]
Olá, Comunidade!
Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).
Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero
)
Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
Mas, se você encontrar alguma coisa diferente, que não funciona direito, me envie uma MP avisando que eu arranjo um tempo pra arrumar!
Vamos crescer essa comunidade juntos
Grande abraço a todos,
Prof. Caju
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IME / ITA ⇒ (IME/ITA) Polinômios Tópico resolvido
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Jpgonçalves
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Out 2023
17
20:40
Re: (IME/ITA) Polinômios
Jpgonçalves,
Se a, b, c são as raízes de [tex3]f(x),[/tex3] então a+3, b+3, c+3 são as raízes de:
[tex3]q(x)=3(x-3)^3-14(x-3)^2+x-3+62=3x^3-41x^2+166x-148.[/tex3]
Seja [tex3]x_1=a+3,[/tex3] [tex3]x_2=b+3,[/tex3] [tex3]x_3=c+3.[/tex3]
Relações de Girard: [tex3]x_1+x_2+x_3=\frac{41}{3},[/tex3] [tex3]x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=\frac{166}{3}.[/tex3]
[tex3](x_1+x_2+x_3)^2=x_1^2+x_2^2+x_3^2+2(x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3) \Longrightarrow x_1^2+x_2^2+x_3^2=\frac{685}{9}.[/tex3]
Voltando para a equação [tex3]q(x)=0[/tex3] , divida os dois lados por [tex3]x[/tex3] e você tem:
[tex3]\frac{148}{x}=3x^2-41x+166.[/tex3]
Sendo [tex3]\sigma_n=x_1^n+x_2^n+x_3^n,[/tex3] você tem, ao somar as 3 equações (uma para [tex3]a,[/tex3] outra para [tex3]b[/tex3] e outra para [tex3]c[/tex3] ):
[tex3]148\sigma_{-1}=3\sigma_2-41\sigma_1+498=166 \Longrightarrow 74\sigma_{-1}=\boxed{83}[/tex3]
Se a, b, c são as raízes de [tex3]f(x),[/tex3] então a+3, b+3, c+3 são as raízes de:
[tex3]q(x)=3(x-3)^3-14(x-3)^2+x-3+62=3x^3-41x^2+166x-148.[/tex3]
Seja [tex3]x_1=a+3,[/tex3] [tex3]x_2=b+3,[/tex3] [tex3]x_3=c+3.[/tex3]
Relações de Girard: [tex3]x_1+x_2+x_3=\frac{41}{3},[/tex3] [tex3]x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=\frac{166}{3}.[/tex3]
[tex3](x_1+x_2+x_3)^2=x_1^2+x_2^2+x_3^2+2(x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3) \Longrightarrow x_1^2+x_2^2+x_3^2=\frac{685}{9}.[/tex3]
Voltando para a equação [tex3]q(x)=0[/tex3] , divida os dois lados por [tex3]x[/tex3] e você tem:
[tex3]\frac{148}{x}=3x^2-41x+166.[/tex3]
Sendo [tex3]\sigma_n=x_1^n+x_2^n+x_3^n,[/tex3] você tem, ao somar as 3 equações (uma para [tex3]a,[/tex3] outra para [tex3]b[/tex3] e outra para [tex3]c[/tex3] ):
[tex3]148\sigma_{-1}=3\sigma_2-41\sigma_1+498=166 \Longrightarrow 74\sigma_{-1}=\boxed{83}[/tex3]
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LostWalker
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Out 2023
17
21:26
Re: (IME/ITA) Polinômios
O *TEOREMA* de Girard
Pouco conhecido, essa é uma aplicação quase direta do Teorema de Girard, ele diz que:
[tex3]\frac{P'(x)}{P(x)}=\frac{1}{x-x_1}+\frac{1}{x-x_2}+\frac{1}{x-x_3}\cdots[/tex3]
Veja que, para a questão, temos que:
[tex3]\frac{f'(x)}{f(x)}=\frac{1}{x-a}+\frac{1}{x-b}+\frac{1}{x-c}[/tex3]
Perceba que podemos tomar que [tex3]x=-3[/tex3] , nesse caso:
[tex3]\frac{f'(-3)}{f(-3)}=\frac{1}{-3-a}+\frac{1}{-3-b}+\frac{1}{-3-c}[/tex3]
[tex3]\frac{f'(-3)}{f(-3)}=-\frac{1}{3+a}-\frac{1}{3+b}-\frac{1}{3+c}[/tex3]
[tex3]-\frac{f'(-3)}{f(-3)}=\frac{1}{3+a}+\frac{1}{3+b}+\frac{1}{3+c}[/tex3]
[tex3]-\frac{f'(-3)}{f(-3)}=\frac{1}{a+3}+\frac{1}{b+3}+\frac{1}{c+3}[/tex3]
Note que, para tornar nossa igualdade igual a questão, podemos simplesmente multiplicar os dois lados por [tex3]74[/tex3] , assim:
[tex3]74\(\frac{1}{a+3}+\frac{1}{b+3}+\frac{1}{c+3}\)=-74\cdot\frac{f'(-3)}{f(-3)}[/tex3]
Tornei bem passo-a-passo, mas pode perceber que são transformações bem rápidas de serem feitas. Para terminarmos, basta calcular os valores, principalmente considerando a derivada de [tex3]f(x)[/tex3] pela regra do tombo:
[tex3]f(x)=3x^3-14x^2+x+62[/tex3]
[tex3]f'(x)=3{\color{Red}\cdot3}x^{\color{Red}2}-14{\color{Red}\cdot2}x^{\color{Red}1}+{\color{Red}1}x^{\color{Red}0}+{\color{Red}\cancel{\color{Black}62}}[/tex3]
[tex3]f'(x)=9x^2-28x+1[/tex3]
Logo, para nossa resposta:
[tex3]S=-74\cdot\frac{f'(-3)}{f(-3)}=-74\cdot\frac{9\cdot(-3)^2-28\cdot(-3)+1}{3\cdot(-3)^3-14\cdot(-3)^2+(-3)+62}=-74\cdot\frac{81+84+1}{-81-126-3+62}={\color{Red}\cancel{\color{Black}-74}}\cdot\frac{166}{\color{Red}\cancel{\color{Black}-148}^2}=\frac{166}2[/tex3]
[tex3]\color{MidNightBlue}\boxed{S=83}[/tex3]
As Relações de Girard
Dada o pouco costume da cobrança desse tipo de questões, uma forma alternativa. Das Relações de Girard, temos que, sendo um polinômio [tex3]P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_o[/tex3] , temos que:
[tex3]-\frac{a_1}{a_0}=\frac1{x_1}+\frac1{x_2}+\frac1{x_3}+\cdots[/tex3]
O motivo disso, usando um polinômio de terceiro grau como na questão, seria por que:
[tex3]\frac{\frac{-a_1}{a_2}}{\frac{a_0}{a_2}}=\frac{b\cdot c+a\cdot c+a\cdot b}{a\cdot b\cdot c}[/tex3]
Perceba que se trata do produto e do produto dois-a-dois, o resultado disso é:
[tex3]\frac{\frac{-a_1}{\color{Red}\cancel{\color{Black}a_2}}}{\frac{a_0}{\color{Red}\cancel{\color{Black}a_2}}}=\frac{b\cdot c}{a\cdot b\cdot c}+\frac{a\cdot c}{a\cdot b\cdot c}+\frac{a\cdot b}{a\cdot b\cdot c}[/tex3]
[tex3]-\frac{a_1}{a_0}=\frac1{a}+\frac1{b}+\frac1{c}[/tex3]
O que faremos agora é modificar o polinômio de forma que ele resulte em um que a raiz seja [tex3]y_r=(3+x_r)[/tex3] , assim:
[tex3]\underbrace{\frac{1}{a+3}}_{y_a}+\underbrace{\frac{1}{b+3}}_{y_b}+\underbrace{\frac{1}{c+3}}_{y_c}[/tex3]
Para isso, só precisamos tomar que [tex3]\boxed{y_r=(3+x_r)~~\therefore~~x_r=y_r-3}[/tex3] , vamos substituir isso na equação original:
[tex3]f(x)=3{\color{JungleGreen}x}^3-14{\color{JungleGreen}x}^2+{\color{JungleGreen}x}+62[/tex3]
[tex3]f(x)=3{\color{JungleGreen}(y-3)}^3-14{\color{JungleGreen}(y-3)}^2+{\color{JungleGreen}(y-3)}+62[/tex3]
[tex3]f(x)=3{\color{JungleGreen}(y^3-9y^2+27y-27)}-14{\color{JungleGreen}(y^2-6y+9)}+{\color{JungleGreen}(y-3)}+62[/tex3]
[tex3]f(x)=3y^3+y^2(-3\cdot9-14)+y(3\cdot27+14\cdot6+1)+(-3\cdot27-14\cdot9-3+62)[/tex3]
[tex3]f(x)=3y^3-41y^2+166y-148[/tex3]
Aplicando agora a ideia de relações de Girard:
[tex3]-\frac{a_1}{a_0}=-\frac{166}{-148}=\frac1{y_a}+\frac1{y_b}+\frac1{y_c}[/tex3]
Perceba que, quando voltamos as transformações [tex3]\boxed{y_r=x_r+3}[/tex3] , temos:
[tex3]\frac{166}{148}=\frac1{\color{JungleGreen}y_a}+\frac1{\color{JungleGreen}y_b}+\frac1{\color{JungleGreen}y_c}[/tex3]
[tex3]\frac{166}{148}=\frac1{\color{JungleGreen}a+3}+\frac1{\color{JungleGreen}b+3}+\frac1{\color{JungleGreen}c+3}[/tex3]
Veja que, trazendo a questão a tona, temos:
[tex3]S=74\cdot{\color{Purple}\(\frac1{a+3}+\frac1{b+3}+\frac1{c+3}\)}[/tex3]
[tex3]S={\color{Red}\cancel{\color{Black}74}}\cdot{\color{Purple}\frac{166}{\color{Red}\cancel{\color{Purple}148}^2}}=\frac{166}2[/tex3]
[tex3]\color{MidNightBlue}\boxed{S=83}[/tex3]
Pouco conhecido, essa é uma aplicação quase direta do Teorema de Girard, ele diz que:
[tex3]\frac{P'(x)}{P(x)}=\frac{1}{x-x_1}+\frac{1}{x-x_2}+\frac{1}{x-x_3}\cdots[/tex3]
Veja que, para a questão, temos que:
[tex3]\frac{f'(x)}{f(x)}=\frac{1}{x-a}+\frac{1}{x-b}+\frac{1}{x-c}[/tex3]
Perceba que podemos tomar que [tex3]x=-3[/tex3] , nesse caso:
[tex3]\frac{f'(-3)}{f(-3)}=\frac{1}{-3-a}+\frac{1}{-3-b}+\frac{1}{-3-c}[/tex3]
[tex3]\frac{f'(-3)}{f(-3)}=-\frac{1}{3+a}-\frac{1}{3+b}-\frac{1}{3+c}[/tex3]
[tex3]-\frac{f'(-3)}{f(-3)}=\frac{1}{3+a}+\frac{1}{3+b}+\frac{1}{3+c}[/tex3]
[tex3]-\frac{f'(-3)}{f(-3)}=\frac{1}{a+3}+\frac{1}{b+3}+\frac{1}{c+3}[/tex3]
Note que, para tornar nossa igualdade igual a questão, podemos simplesmente multiplicar os dois lados por [tex3]74[/tex3] , assim:
[tex3]74\(\frac{1}{a+3}+\frac{1}{b+3}+\frac{1}{c+3}\)=-74\cdot\frac{f'(-3)}{f(-3)}[/tex3]
Tornei bem passo-a-passo, mas pode perceber que são transformações bem rápidas de serem feitas. Para terminarmos, basta calcular os valores, principalmente considerando a derivada de [tex3]f(x)[/tex3] pela regra do tombo:
[tex3]f(x)=3x^3-14x^2+x+62[/tex3]
[tex3]f'(x)=3{\color{Red}\cdot3}x^{\color{Red}2}-14{\color{Red}\cdot2}x^{\color{Red}1}+{\color{Red}1}x^{\color{Red}0}+{\color{Red}\cancel{\color{Black}62}}[/tex3]
[tex3]f'(x)=9x^2-28x+1[/tex3]
Logo, para nossa resposta:
[tex3]S=-74\cdot\frac{f'(-3)}{f(-3)}=-74\cdot\frac{9\cdot(-3)^2-28\cdot(-3)+1}{3\cdot(-3)^3-14\cdot(-3)^2+(-3)+62}=-74\cdot\frac{81+84+1}{-81-126-3+62}={\color{Red}\cancel{\color{Black}-74}}\cdot\frac{166}{\color{Red}\cancel{\color{Black}-148}^2}=\frac{166}2[/tex3]
[tex3]\color{MidNightBlue}\boxed{S=83}[/tex3]
As Relações de Girard
Dada o pouco costume da cobrança desse tipo de questões, uma forma alternativa. Das Relações de Girard, temos que, sendo um polinômio [tex3]P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_o[/tex3] , temos que:
[tex3]-\frac{a_1}{a_0}=\frac1{x_1}+\frac1{x_2}+\frac1{x_3}+\cdots[/tex3]
O motivo disso, usando um polinômio de terceiro grau como na questão, seria por que:
[tex3]\frac{\frac{-a_1}{a_2}}{\frac{a_0}{a_2}}=\frac{b\cdot c+a\cdot c+a\cdot b}{a\cdot b\cdot c}[/tex3]
Perceba que se trata do produto e do produto dois-a-dois, o resultado disso é:
[tex3]\frac{\frac{-a_1}{\color{Red}\cancel{\color{Black}a_2}}}{\frac{a_0}{\color{Red}\cancel{\color{Black}a_2}}}=\frac{b\cdot c}{a\cdot b\cdot c}+\frac{a\cdot c}{a\cdot b\cdot c}+\frac{a\cdot b}{a\cdot b\cdot c}[/tex3]
[tex3]-\frac{a_1}{a_0}=\frac1{a}+\frac1{b}+\frac1{c}[/tex3]
O que faremos agora é modificar o polinômio de forma que ele resulte em um que a raiz seja [tex3]y_r=(3+x_r)[/tex3] , assim:
[tex3]\underbrace{\frac{1}{a+3}}_{y_a}+\underbrace{\frac{1}{b+3}}_{y_b}+\underbrace{\frac{1}{c+3}}_{y_c}[/tex3]
Para isso, só precisamos tomar que [tex3]\boxed{y_r=(3+x_r)~~\therefore~~x_r=y_r-3}[/tex3] , vamos substituir isso na equação original:
[tex3]f(x)=3{\color{JungleGreen}x}^3-14{\color{JungleGreen}x}^2+{\color{JungleGreen}x}+62[/tex3]
[tex3]f(x)=3{\color{JungleGreen}(y-3)}^3-14{\color{JungleGreen}(y-3)}^2+{\color{JungleGreen}(y-3)}+62[/tex3]
[tex3]f(x)=3{\color{JungleGreen}(y^3-9y^2+27y-27)}-14{\color{JungleGreen}(y^2-6y+9)}+{\color{JungleGreen}(y-3)}+62[/tex3]
[tex3]f(x)=3y^3+y^2(-3\cdot9-14)+y(3\cdot27+14\cdot6+1)+(-3\cdot27-14\cdot9-3+62)[/tex3]
[tex3]f(x)=3y^3-41y^2+166y-148[/tex3]
Aplicando agora a ideia de relações de Girard:
[tex3]-\frac{a_1}{a_0}=-\frac{166}{-148}=\frac1{y_a}+\frac1{y_b}+\frac1{y_c}[/tex3]
Perceba que, quando voltamos as transformações [tex3]\boxed{y_r=x_r+3}[/tex3] , temos:
[tex3]\frac{166}{148}=\frac1{\color{JungleGreen}y_a}+\frac1{\color{JungleGreen}y_b}+\frac1{\color{JungleGreen}y_c}[/tex3]
[tex3]\frac{166}{148}=\frac1{\color{JungleGreen}a+3}+\frac1{\color{JungleGreen}b+3}+\frac1{\color{JungleGreen}c+3}[/tex3]
Veja que, trazendo a questão a tona, temos:
[tex3]S=74\cdot{\color{Purple}\(\frac1{a+3}+\frac1{b+3}+\frac1{c+3}\)}[/tex3]
[tex3]S={\color{Red}\cancel{\color{Black}74}}\cdot{\color{Purple}\frac{166}{\color{Red}\cancel{\color{Purple}148}^2}}=\frac{166}2[/tex3]
[tex3]\color{MidNightBlue}\boxed{S=83}[/tex3]
Editado pela última vez por LostWalker em 18 Out 2023, 00:35, em um total de 2 vezes.
"[...] Mas essa é a graça dos encontros e desencontros: a Coincidência e o Destino. Se pudesse resumir, diria: A causalidade é a Ironia do Universo."
-Melly
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