[tex3]6x^4-ax^3+62x^2-35x+b-a=0[/tex3]
seja recíproca de 1ª classe e, em seguida, achar as raízes da equação, para esses valores de [tex3]a[/tex3] e [tex3]b[/tex3] .
Resposta
S/ GAB
Olá, Comunidade!
Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).
Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero
)
Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
Mas, se você encontrar alguma coisa diferente, que não funciona direito, me envie uma MP avisando que eu arranjo um tempo pra arrumar!
Vamos crescer essa comunidade juntos
Grande abraço a todos,
Prof. Caju
Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).
Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero
)Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
Mas, se você encontrar alguma coisa diferente, que não funciona direito, me envie uma MP avisando que eu arranjo um tempo pra arrumar!
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Prof. Caju
IME / ITA ⇒ (ITA-1961) Raízes da equação IV Tópico resolvido
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Jigsaw
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Out 2023
05
10:56
(ITA-1961) Raízes da equação IV
6 – Determinar [tex3]a[/tex3]
e [tex3]b[/tex3]
de modo que
[tex3]6x^4-ax^3+62x^2-35x+b-a=0[/tex3]
seja recíproca de 1ª classe e, em seguida, achar as raízes da equação, para esses valores de [tex3]a[/tex3] e [tex3]b[/tex3] .
S/ GAB
[tex3]6x^4-ax^3+62x^2-35x+b-a=0[/tex3]
seja recíproca de 1ª classe e, em seguida, achar as raízes da equação, para esses valores de [tex3]a[/tex3] e [tex3]b[/tex3] .
S/ GAB
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LostWalker
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Out 2023
11
09:39
Re: (ITA-1961) Raízes da equação IV
Definindo os Coeficientes
Numa equação recíproca de primeira espécie, podemos vulgarmente falar que os termos equidistantes, quando organizados em ordem crescente das potências da variável, são iguais. Nisso, temos a igualdade:
[tex3]{\color{JungleGreen}6}x^4{\color{Purple}\,-\,a}x^3+62x^2{\color{Purple}\,-35}x+{\color{JungleGreen}b-a}=0[/tex3]
[tex3]\cases{-a=-35\\a-b=6}[/tex3]
[tex3]\boxed{\cases{a=35\\b=29}\,}[/tex3]
Resolvendo a Equação
Seguindo o estilo clássico desse tipo de resolução, dividimos tudo, nesse caso, por [tex3]x^2[/tex3] :
[tex3]6x^4-35x^3+62x^2-35x+6=0[/tex3]
[tex3]6x^2-35x+62-35\cdot\frac1x+6\cdot\frac1{x^2}=0[/tex3]
[tex3]6\(x^2+\frac1{x^2}\)-35\(x+\frac1x\)+62=0[/tex3]
Tomando [tex3]y = \(x+\frac1x\)[/tex3]
[tex3]\(x+\frac1x\)^2=y^2[/tex3]
[tex3]x^2+\frac1{x^2}=y^2-2[/tex3]
Substituindo:
[tex3]6{\color{PineGreen}\(x^2+\frac1{x^2}\)}-35{\color{Purple}\(x+\frac1x\)}+62=0[/tex3]
[tex3]6{\color{PineGreen}\(y^2-2\)}-35{\color{Purple}y}+62=0[/tex3]
[tex3]6y^2-35y+62-6\cdot2=0[/tex3]
[tex3]6y^2-35y+50=0[/tex3]
Ainda podemos fazer um modificação de variáveis:
[tex3]6y^2-35y+50=0~~\rightarrow~~z^2-35z+6\cdot50=0[/tex3]
Assim:
[tex3]z^2-35z+300=0[/tex3]
O qual é mais fácil de enxergar que:
[tex3]\cases{z_1+z_2 = 35\\z_1\cdot z_2=300}[/tex3]
[tex3]\cases{z_1=15\\z_2=20}[/tex3]
Converteno pra [tex3]y[/tex3] :
[tex3]\cases{y_1=z_1:6=\frac52\\y_2=z_2:6=\frac{10}3}[/tex3]
E assim, voltando esses valores para achar [tex3]x[/tex3] :
[tex3]\boxed{x+\frac1x}=y_1=\frac52=\boxed{2+\frac12}~~\rightarrow\,x=\left\{2,\frac12\right\}[/tex3]
[tex3]\boxed{x+\frac1x}=y_2=\frac{10}3=\boxed{3+\frac13}~~\rightarrow\,x=\left\{3,\frac13\right\}[/tex3]
Com isso definimos que:
[tex3]\color{MidNightBlue}\boxed{x=\left\{\frac13,\frac12,2,3\right\}}[/tex3]
Numa equação recíproca de primeira espécie, podemos vulgarmente falar que os termos equidistantes, quando organizados em ordem crescente das potências da variável, são iguais. Nisso, temos a igualdade:
[tex3]{\color{JungleGreen}6}x^4{\color{Purple}\,-\,a}x^3+62x^2{\color{Purple}\,-35}x+{\color{JungleGreen}b-a}=0[/tex3]
[tex3]\cases{-a=-35\\a-b=6}[/tex3]
[tex3]\boxed{\cases{a=35\\b=29}\,}[/tex3]
Resolvendo a Equação
Seguindo o estilo clássico desse tipo de resolução, dividimos tudo, nesse caso, por [tex3]x^2[/tex3] :
[tex3]6x^4-35x^3+62x^2-35x+6=0[/tex3]
[tex3]6x^2-35x+62-35\cdot\frac1x+6\cdot\frac1{x^2}=0[/tex3]
[tex3]6\(x^2+\frac1{x^2}\)-35\(x+\frac1x\)+62=0[/tex3]
Tomando [tex3]y = \(x+\frac1x\)[/tex3]
[tex3]\(x+\frac1x\)^2=y^2[/tex3]
[tex3]x^2+\frac1{x^2}=y^2-2[/tex3]
Substituindo:
[tex3]6{\color{PineGreen}\(x^2+\frac1{x^2}\)}-35{\color{Purple}\(x+\frac1x\)}+62=0[/tex3]
[tex3]6{\color{PineGreen}\(y^2-2\)}-35{\color{Purple}y}+62=0[/tex3]
[tex3]6y^2-35y+62-6\cdot2=0[/tex3]
[tex3]6y^2-35y+50=0[/tex3]
Ainda podemos fazer um modificação de variáveis:
[tex3]6y^2-35y+50=0~~\rightarrow~~z^2-35z+6\cdot50=0[/tex3]
Assim:
[tex3]z^2-35z+300=0[/tex3]
O qual é mais fácil de enxergar que:
[tex3]\cases{z_1+z_2 = 35\\z_1\cdot z_2=300}[/tex3]
[tex3]\cases{z_1=15\\z_2=20}[/tex3]
Converteno pra [tex3]y[/tex3] :
[tex3]\cases{y_1=z_1:6=\frac52\\y_2=z_2:6=\frac{10}3}[/tex3]
E assim, voltando esses valores para achar [tex3]x[/tex3] :
[tex3]\boxed{x+\frac1x}=y_1=\frac52=\boxed{2+\frac12}~~\rightarrow\,x=\left\{2,\frac12\right\}[/tex3]
[tex3]\boxed{x+\frac1x}=y_2=\frac{10}3=\boxed{3+\frac13}~~\rightarrow\,x=\left\{3,\frac13\right\}[/tex3]
Com isso definimos que:
[tex3]\color{MidNightBlue}\boxed{x=\left\{\frac13,\frac12,2,3\right\}}[/tex3]
"[...] Mas essa é a graça dos encontros e desencontros: a Coincidência e o Destino. Se pudesse resumir, diria: A causalidade é a Ironia do Universo."
-Melly
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