IME / ITA ⇒ (ITA-1960) Geometria Plana V Tópico resolvido

[Jigsaw]

7 – Deduzir a fórmula que dá a área de um triângulo em função dos três lados e aplicá-la para o caso em que os três lados são 3m, 5m e 6m respectivamente.

Resposta

---

S/ GAB

[petras]

Jigsaw,

è a fórmula de Heron:

[tex3]\mathsf{S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\\
\begin{align} a^2 &= m^2+h^2(I) \\ c^2 &= n^2+h^2(II) \\ b &= m+n(III) \end{align}\\
(II)-(I): a^2-c^2=m^2-n^2=(m-n)(m+n)\\
De(III): a^2-c^2=(m-n)b \implies m-n=\frac{a^2-c^2}{b}(IV)\\
(III)+(IV): 2m = \frac{a^2-c^2}{b}+b \implies m = \frac{1}{2b}(b^2-c^2+a^2)(V)\\
(V)em(I):a^2=h^2+ (\frac{1}{2b}(b^2-c^2+a^2)^2 \implies 4a^2b^2=4\underbrace{b^2h^2}+(b^2-c^2+a^2)^2\\
S=\frac{b.h}{2} \implies S^2=\frac{b^2h^2}{4} \therefore b^2h^2 =4S^2\\
Substituindo: 4a^2b^2=4.4S^2+(b^2-c^2+a^2)^2 \implies 4a^2b^2=16S^2+(b^2-c^2+a^2)\\
16S^2=(2ab)^2-(b^2-c^2+a^2)^2 = (2ab-b^2+c^2-a^2)(2ab+b^2-c^2+a^2)\\
16S^2=[c^2-(a-b)^2][(a+b)^2-c^2]=(c-a+b)(c+a-b)(a+b-c)(a+b+c)\\
(III)-(IV):n=a-\frac{b^2-c^2}{a} \implies n=\frac{1}{2a}(a^2-b^2+c^2)(VI)\\
~a+b+c =2p\\
a+b−c=a+b+c-2c=2p-2c=2(p-c)\\
Analogamente: a+c-b=2(p-b);b+c-a=2(p-a)\\
Substituindo ~em (VI):16S^2=2(p-a)2(p-b)2(p-c)2p\\
\therefore S^2 = p(p-a)(p-b)(p-c) \implies \boxed{S= \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}}
}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\mathsf{S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\\
\begin{align} a^2 &= m^2+h^2(I) \\ c^2 &= n^2+h^2(II) \\ b &= m+n(III) \end{align}\\
(II)-(I): a^2-c^2=m^2-n^2=(m-n)(m+n)\\
De(III): a^2-c^2=(m-n)b \implies m-n=\frac{a^2-c^2}{b}(IV)\\
(III)+(IV): 2m = \frac{a^2-c^2}{b}+b \implies m = \frac{1}{2b}(b^2-c^2+a^2)(V)\\
(V)em(I):a^2=h^2+ (\frac{1}{2b}(b^2-c^2+a^2)^2 \implies 4a^2b^2=4\underbrace{b^2h^2}+(b^2-c^2+a^2)^2\\
S=\frac{b.h}{2} \implies S^2=\frac{b^2h^2}{4} \therefore b^2h^2 =4S^2\\
Substituindo: 4a^2b^2=4.4S^2+(b^2-c^2+a^2)^2 \implies 4a^2b^2=16S^2+(b^2-c^2+a^2)\\
16S^2=(2ab)^2-(b^2-c^2+a^2)^2 = (2ab-b^2+c^2-a^2)(2ab+b^2-c^2+a^2)\\
16S^2=[c^2-(a-b)^2][(a+b)^2-c^2]=(c-a+b)(c+a-b)(a+b-c)(a+b+c)\\
(III)-(IV):n=a-\frac{b^2-c^2}{a} \implies n=\frac{1}{2a}(a^2-b^2+c^2)(VI)\\
~a+b+c =2p\\
a+b−c=a+b+c-2c=2p-2c=2(p-c)\\
Analogamente: a+c-b=2(p-b);b+c-a=2(p-a)\\
Substituindo ~em (VI):16S^2=2(p-a)2(p-b)2(p-c)2p\\
\therefore S^2 = p(p-a)(p-b)(p-c) \implies \boxed{S= \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}}
}[/tex3]

[tex3]p=\frac{3+5+6}{2}=7\\
S= \sqrt{7(7-6)(7-5)(7-3)} = \sqrt{56}=\boxed{2\sqrt{14}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]p=\frac{3+5+6}{2}=7\\
S= \sqrt{7(7-6)(7-5)(7-3)} = \sqrt{56}=\boxed{2\sqrt{14}}[/tex3]