IME / ITA

Mensagem não lida por **Jigsaw** » 04 Out 2023, 19:10

4 – Determinar o(s) erro(s) na “dedução” abaixo.
Seja [tex3]0<x<\frac{\pi}{2}[/tex3] : nessa hipótese [tex3]cos\ x<sec\ x[/tex3] e multiplicando ambos os membros por [tex3]sen\ x-tg\ x[/tex3] obtemos
[tex3]cos\ x(sen\ x-tg\ x)<sec\ x(sen\ x-tg\ x)[/tex3]
ou
[tex3]sen\ x\ cos\ x-sen\ x<tg\ x-tg\ x\ sec\ x[/tex3]
Para [tex3]x=45º[/tex3] teremos:
[tex3]\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}<1-\frac{2}{\sqrt{2}}[/tex3]
e sucessivamente
[tex3]-\frac{\sqrt{2}}{2}<\frac{1}{2}-\sqrt{2}[/tex3] ,
[tex3]\frac{\sqrt{2}}{2}<\frac{1}{2}[/tex3] ,
[tex3]\sqrt{2}<1[/tex3] .

Resposta

S/ GAB

Mensagem não lida por **LostWalker** » 04 Out 2023, 20:41

Erro na Desigualdade

Esses erros costumam atestar de algum erro de dedução em valores negativos, os quais inverteriam o sinal. Nesse caso, vamos começar avaliando a proposição inicial:

[tex3]\cos(x)<\sec(x)[/tex3]
[tex3]\cos^2(x)<1[/tex3]

Essa relação está sendo perfeitamente respeitada, dado que, no intervalo, além de considerarmos unicamente os valores positivos de [tex3]\cos(x)[/tex3] , o intervalo não contempla [tex3]\sec(90^\circ)[/tex3] , o qual seria indeterminado. Prosseguindo vamos analisar a parte que multiplica dos dois lados.

Nesse caso, podemos ver diretamente o erro, pois, no intervalo dado, [tex3]\sen(x)-\tg(x)<0[/tex3] , já que a tangente, nesse intervalo, sempre será maior. Se você possui costume de enxergar como as métricas aparecem no círculo trigonométrico, é imediato (infelizmente no momento, não consigo criar um desenho para colocar de exemplo, então irei provar matematicamente apenas):

Vamos parte da afirmação [tex3]\sen(x)>\tg(x)[/tex3]

[tex3]\sen(x)>\tg(x)[/tex3]

como no intervalor, as funções trigonométricas são positivas e não nulas:

[tex3]{\color{Red}\cancel{\color{Black}\sen(x)}}>\frac{\color{Red}\cancel{\color{Black}\sen(x)}}{\cos(x)}[/tex3]

[tex3]\cos(x)>1~~[\mbox{Absurdo}][/tex3]

Com isso, haveria uma mudança no sinal, de [tex3]"<"[/tex3] para [tex3]">"[/tex3] . O resto segue-se normalmente.

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(ITA-1960) Equação trigonométrica III

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