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Mensagem não lidapor **Jigsaw** » 02 Out 2023, 18:07 · Mensagem não lida por **Jigsaw** » 02 Out 2023, 18:07

PARTE - III

Das 5 afirmativas seguintes, apenas 3 são verdadeiras. Assinale e demonstre as afirmativas verdadeiras.
1 – Se [tex3]m[/tex3] e [tex3]p[/tex3] são números inteiros positivos tais que o número de combinações de [tex3]m[/tex3] objetos [tex3]p[/tex3] a [tex3]p[/tex3] seja igual ao número de combinações dos [tex3]m[/tex3] objetos [tex3]p-1[/tex3] a [tex3]p-1[/tex3] então, [tex3]m[/tex3] é necessariamente ímpar.
2 –
[tex3]\begin{vmatrix}
1 & a & 2a+d \\
1 & b & 2b+d \\
1 & c & 2c+d \\
\end{vmatrix}[/tex3] [tex3]\neq 0[/tex3]
3 – Inscreve-se um cubo [tex3]C[/tex3] em uma esfera [tex3]E[/tex3] . Nesse cubo inscreve-se uma esfera [tex3]E’[/tex3] . Inscreve-se um novo cubo [tex3]C’[/tex3] na esfera [tex3]E’[/tex3] . A área total do cubo [tex3]C’[/tex3] é [tex3]\frac{2}{3\pi }S[/tex3] , onde [tex3]S[/tex3] é a área da esfera [tex3]E[/tex3] .
4 – Inscreve-se uma esfera em um cone circular reto cujo raio da base é [tex3]a>1[/tex3] . Então, [tex3]lr>h-a[/tex3] , onde [tex3]h[/tex3] é a altura do cone, [tex3]l[/tex3] a sua geratriz e [tex3]r[/tex3] é o raio da esfera.
5 – A área lateral do tronco de pirâmide regular é igual ao produto do apótema pela soma dos perímetros das bases.

Resposta

1) Resposta: Verdadeira. ([tex3]m=2p-1[/tex3] ).
2) Resposta: Falsa.
3) Resposta: Verdadeira. [tex3]a=\frac{2R}{\sqrt{3}}[/tex3] ; [tex3]R’=\frac{R}{\sqrt{3}}[/tex3] ; [tex3]a’=\frac{2R}{3}[/tex3] .
4) Resposta: Verdadeira.
5) Resposta: Falsa.

OBS = Também mantive os cinco itens indicados na questão original, mesmo contrariando as regras do Fórum, no sentido de manter a originalidade da questão. Novamente não há necessidade de responder a todos os itens, mas qualquer item respondido será de enorme ajuda para os usuários do espaço. Por questão de didática, seria interessante (para quem souber) justificar as alternativas Falsas também.

Mensagem não lidapor **petras** » 16 Out 2023, 19:29 · Mensagem não lida por **petras** » 16 Out 2023, 19:29

Jigsaw,

Item 1) Verdadeira

A sentença é verdadeira. Desenvolvendo os números binomiais:
[tex3]
\binom{m}{p} = \binom{m}{p-1} \implies \frac{m!}{p! \; (m-p)!} = \frac{m!}{(p-1)! \; (m-p+1)!} \implies\\
\frac{(m-p+1)!}{(m-p)!} = \frac{p!}{(p-1)!} \implies \frac{(m-p+1)(m-p)!}{(m-p)!} = \frac{p(p-1)!}{(p-1)!} \implies\\
m-p+1 = p \therefore \boxed{m=2p-1}[/tex3]

Portanto, m é um número ímpar para todo valor de p.
(Solução:ZeRoberto26)

Item 2) Falsa

: f2.jpg (23.13 KiB) Exibido 222 vezes

Item 3) Verdadeira

Existe uma esfera E de superfície S. Como E tem diâmetro D sua superfície é dada por [tex3]S = \pi.D^2[/tex3] . Então vamos guardar que
[tex3]D^2 =\frac{ S}{\pi} (I)[/tex3]

Inscrito em E está o cubo C, logo sua diagonal é D (o mesmo diâmetro de E). O cubo C tem aresta a, então
[tex3]D = a\sqrt3 \implies a = \frac{D\sqrt3}{3}(II)[/tex3]

Inscrito em C temos a esfera E' cujo diâmetro[tex3] D' = a (III)[/tex3] .

E finalmente, inscrito em E' temos o cubo C'. Analogamente ao 2º parágrafo, C' tem aresta a' e diagonal D' (diâmetro de E').
Em relação a a', a diagonal D' vale
[tex3]D' = a'.\sqrt3 \\
De(III) \implies a = a'\sqrt3 \implies a' = \frac{a\sqrt3}{3}(IV)[/tex3]

(II) em (IV): [tex3]a' = D(\frac{\sqrt3}{3})(\frac{\sqrt3}{3})\implies a' =\frac{D}{3} [/tex3]

A superfície de C' é dada por
[tex3]SC' = 6.(a')^2 = \frac{6.D^2}{9 }= \frac{2.D^2}{3} (V)[/tex3]

(I) em (V):[tex3]\boxed{SC' = \frac{2.S}{3π}}
[/tex3] portanto afirmativa verdadeira
(Solução: Medeiros)

Item 4) Verdadeira
(Solução:GiovanaMartins)

: f2.jpg (29.83 KiB) Exibido 222 vezes

Item 5) Falsa

Cada face lateral de um tronco de pirâmide regular é um trapézio isósceles congruente às outras. E o apótema é a altura desse trapézio.

A área de uma face lateral é a área do trapézio, i.e.,
S₁ face = (média aritmética das bases)×(apótema)

Extrapolando para as n faces da pirâmide, a somatória da área de todos esses trapézios produz a área lateral da pirâmide, ou seja,

S_lat = (média aritmética dos perímetros das bases)×(apótema)

AFIRMATIVA FALSA pois a média aritmética de dois elementos é sua soma dividido por 2 e a afirmativa esqueceu essa divisão.
(Solução:Medeiros)

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