IME / ITA

Mensagem não lidapor **Jigsaw** » 02 Out 2023, 17:38 · Mensagem não lida por **Jigsaw** » 02 Out 2023, 17:38

PARTE - I

Das 5 afirmativas seguintes, apenas 3 são verdadeiras. Assinale e demonstre as afirmativas verdadeiras.
1 - [tex3]\lim_{x \rightarrow 1}\frac{\sqrt[n]{x}-1}{\sqrt[p]{x}-1}=\frac{p}{n}[/tex3]
2 – Na equação [tex3]x^3+ax^2+bx-\sqrt{2}=0[/tex3] , existem valores para a e b tais que o produto das raízes da equação é um número inteiro.
3 – [tex3]log_a3+log_a\frac{3}{3a-1}+1=log_a(3+\frac{3}{3a-1})[/tex3] , qualquer que seja a > 0, [tex3]a\neq 1[/tex3] , [tex3]a\neq \frac{1}{3}[/tex3] .
4 – Se existirem x e y tais que [tex3]x>y[/tex3] e [tex3]a^x<a^y[/tex3] , [tex3](a>0)[/tex3] , então, existem z e w tais que [tex3]z>w[/tex3] e [tex3]a^z>a^w[/tex3] .
5 – [tex3](1+x)^n\geq 1+nx[/tex3] onde n é um número inteiro positivo e x qualquer número maior ou igual a -1.

Resposta

1) Resposta: Verdadeira.
2) Resposta: Falsa.
3) Resposta: Falsa.
4) Resposta: Verdadeira.
5) Resposta: Verdadeira.
Fonte: Retirada do livro “Vestibulares de Matemática” por M. Silva Filho e G. Magarinos, pela Editora Nacionalista, em 1960.

OBS = Também mantive os cinco itens indicados na questão original, mesmo contrariando as regras do Fórum, no sentido de manter a originalidade da questão. Novamente não há necessidade de responder a todos os itens, mas qualquer item respondido será de enorme ajuda para os usuários do espaço. Por questão de didática, seria interessante (para quem souber) justificar as alternativas Falsas também.

Mensagem não lidapor **petras** » 16 Out 2023, 19:20 · Mensagem não lida por **petras** » 16 Out 2023, 19:20

Jigsaw,

Item i) Verdadeira

: f2.jpg (26.65 KiB) Exibido 182 vezes

(Solução:GiovanaMartins)

Item 2) Falsa

O produto das raízes independe de a e b pois por Girad
[tex3]x_1.x_2.x_3 =-\frac{d}{a} =\frac{\sqrt2}{1}=\sqrt2 [/tex3] , ou seja depende apenas do termo independente e do coeficiente o termo de maior grau
(Solução:GiovanaMartins)

Item 3) Verdadeira

: f02.jpg (25.32 KiB) Exibido 180 vezes

(Solução:GiovanaMartins)

Item 5) Verdadeira:Desigualdade de Bernoulli:
A desigualdade de Bernoulli afirma que: [tex3]( 1 + x )^n ≥ 1 +nx[/tex3] , sempre que[tex3] x > − 1[/tex3] e n é um número inteiro não negativo.

Esta desigualdade pode ser generalizada considerando-se o caso em que n é um real maior ou igual a 1

Esta desigualdade pode ser provada por indução matemática, como se segue:

Base:

[tex3] (1+x)^0 = 1 \geq 1.[/tex3]

Indução:

Pela hipótese de indução, temos:

[tex3] (1+x)^n\geq 1 +nx[/tex3]

Multiplicado ambos os lados por (1 + x) (que é um termo positivo uma vez que x >- 1):

[tex3] (1+x)^{n+1} \ge (1+nx)(1+x)=1+(n+1)x+nx^2[/tex3]

O termo [tex3]nx^2 [/tex3] é positivo e portanto:

[tex3] (1+x)^{n+1} \ge 1+(n+1)x[/tex3]

Defina a função auxiliar f(x) por:

[tex3] f(x):=(1+x)^r-(1+rx)\,[/tex3]

Queremos mostrar que [tex3]f(x)\geq 0[/tex3] quando [tex3]x > - 1[/tex3] .

Tomando derivada em x, temos:

[tex3] f'(x)=r(1+x)^{r-1}-r[/tex3]

ou seja:
f'(x)= [tex3]\begin{cases}
<0, -1 < x < 0 \\
=0, x=0 \\
> 0 , x >0
\end{cases}[/tex3]

Portanto, f(x) admite um mínimo global no ponto x = 0, onde é nula. Assim concluímos:

[tex3] f(x)\geq 0, x>-1\,[/tex3]

o que completa a demonstração.

(Solução:net)

IME / ITA ⇒ (ITA-1959) Produto das raízes da equação Tópico resolvido

(ITA-1959) Produto das raízes da equação

Re: (ITA-1959) Produto das raízes da equação

IME / ITA ⇒ (ITA-1959) Produto das raízes da equação Tópico resolvido

(ITA-1959) Produto das raízes da equação

Re: (ITA-1959) Produto das raízes da equação

Entrar | Registrar