IME / ITA ⇒ (ITA-1956) Deduzir a fórmula do volume do tronco de pirâmide Tópico resolvido

[Jigsaw]

PARTE - II

2.1 – Demonstrar que [tex3](a-1)x^2-(a+5)x-a=0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](a-1)x^2-(a+5)x-a=0[/tex3]

admite raízes sempre distintas, qualquer que seja o valor real de [tex3]a[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a[/tex3]

.
2.2 – Deduzir a fórmula do volume do tronco de pirâmide.
2.3 – Uma urna contem 12 bolas, das quais 7 são pretas e 5, brancas. De quantos modos podemos tirar 6 bolas da urna, das quais 2 sejam brancas?

Resposta

---

S/ GAB

OBS = Também mantive os três itens indicados na questão original, mesmo contrariando as regras do Fórum, no sentido de manter a originalidade da questão. Novamente não há necessidade de responder a todos os itens, mas qualquer item respondido será de enorme ajuda para os usuários do espaço.

[petras]

Jigsaw,

2.2[tex3] \mathsf{\boxed{V_{tronco}=\frac{1}{3}h(A_{1}+\sqrt{A_{1}A_{2}}+A_{2})}\\
c.q.d\\
V_t=V_2-V_1 =\frac{1}{3}A_2.(h+H)-\frac{1}{3}(A_1.H)=\frac{1}{3}(A_2h+A_2H-A_1H)=\frac{1}{3}(A_2h+(H(A_2-A_1))(I)\\
\frac{A_2}{A_1}=k^2, \frac{H_2}{H}=k \implies \frac{A_2}{A_1} = (\frac{H_2}{H})^2\implies \frac{H_2}{H_1} = \frac{\sqrt{A_2}}{\sqrt{A_1}}\\
\therefore \frac{h+H}{A_1}=\frac{\sqrt{A_2}}{\sqrt{A_1}} \implies H = \frac{h\sqrt A_1}{\sqrt{A_2}-\sqrt{A_1}}(II)\\
(II)em (I):V_t = \frac{1}{3}(A_2h+(A_2-A_1). \frac{h\sqrt A_1}{\sqrt{A_2}-\sqrt{A_1}})=\frac{h}{3}(A_2+(B_2-B_1). \frac{\sqrt A_1}{\sqrt{A_2}-\sqrt{A_1}})=(III)\\
A_2-A_1=(\sqrt A_2)^2-(\sqrt{A_1})^2= (\sqrt A_2+\sqrt A_1) (\sqrt A_2-\sqrt A_1)(IV)\\
(IV)em(III): \frac{h}{3}(A_2+(\sqrt A_2+\sqrt A_1).\cancel{(\sqrt A2 -\sqrt A_1)}. \frac{\sqrt A_1}{\cancel{\sqrt{A_2}-\sqrt{A_1}}})\\
\therefore \boxed{V_t = \frac{h}{3} (A_2+(\sqrt{ A_1. A_2}) +A_1)} c.q.d





}
[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3] \mathsf{\boxed{V_{tronco}=\frac{1}{3}h(A_{1}+\sqrt{A_{1}A_{2}}+A_{2})}\\
c.q.d\\
V_t=V_2-V_1 =\frac{1}{3}A_2.(h+H)-\frac{1}{3}(A_1.H)=\frac{1}{3}(A_2h+A_2H-A_1H)=\frac{1}{3}(A_2h+(H(A_2-A_1))(I)\\
\frac{A_2}{A_1}=k^2, \frac{H_2}{H}=k \implies \frac{A_2}{A_1} = (\frac{H_2}{H})^2\implies \frac{H_2}{H_1} = \frac{\sqrt{A_2}}{\sqrt{A_1}}\\
\therefore \frac{h+H}{A_1}=\frac{\sqrt{A_2}}{\sqrt{A_1}} \implies H = \frac{h\sqrt A_1}{\sqrt{A_2}-\sqrt{A_1}}(II)\\
(II)em (I):V_t = \frac{1}{3}(A_2h+(A_2-A_1). \frac{h\sqrt A_1}{\sqrt{A_2}-\sqrt{A_1}})=\frac{h}{3}(A_2+(B_2-B_1). \frac{\sqrt A_1}{\sqrt{A_2}-\sqrt{A_1}})=(III)\\
A_2-A_1=(\sqrt A_2)^2-(\sqrt{A_1})^2= (\sqrt A_2+\sqrt A_1) (\sqrt A_2-\sqrt A_1)(IV)\\
(IV)em(III): \frac{h}{3}(A_2+(\sqrt A_2+\sqrt A_1).\cancel{(\sqrt A2 -\sqrt A_1)}. \frac{\sqrt A_1}{\cancel{\sqrt{A_2}-\sqrt{A_1}}})\\
\therefore \boxed{V_t = \frac{h}{3} (A_2+(\sqrt{ A_1. A_2}) +A_1)} c.q.d





}
[/tex3]

[petras]

Jigsaw,

2.1) ∆ < 0: P(x) tem duas raízes complexas conjugadas;

∆ = 0: P(x) tem duas raízes reais e iguais.

∆ > 0: P(x) tem duas raízes reais e distintas.

∆ = (- a - 5)^2 - [(4) x (a - 1) x (- a)] = 5a² + 6a + 25 = f(a)

Note que o discriminante de P(x) = (a - 1)x² - (a + 5)x - a depende da variável a.

Por sua vez, note que o discriminante de f(a) é ∆ = (6)^2 - 4 x 5 x 25 = - 464. Sendo o coeficiente do termo de maior grau de f(a) igual 5 e, portanto, maior que zero, além do fato de que ∆ = - 464, f(a) é maior que zero para todo "a" real.

Como f(a) > 0 para todo "a" real, logo, o discriminante de P(x) que depende de "a" será maior que zero para todo "a" real.
(Solução:Giovana Martins)


2.3) viewtopic.php?t=39853