IME / ITA ⇒ (ITA-1953) Divisão de uma soma por um número Tópico resolvido

[Jigsaw]

SEGUNDA PARTE

1 – Demonstrar que o resto, na divisão de uma soma por um número, é o resto da soma dos restos das parcelas. Deduzir que um número é divisível por 9 quando, e somente quando, a soma dos seus algarismos fôr divisível por 9.
2 – Determinar os valores de [tex3]x[/tex3]

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[tex3]x[/tex3]

para os quais o trinômio [tex3]y=\frac{7}{2}\left(x-\frac{4}{7}\right)+x^2[/tex3]

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[tex3]y=\frac{7}{2}\left(x-\frac{4}{7}\right)+x^2[/tex3]

tenha valores positivos.
3 – Calcular o volume gerado por um triângulo retângulo isósceles, cujos catetos medem 3 m, e girante em torno da paralela à hipotenusa, traçada pelo vértice do ângulo reto.
4 – Determinar o sinal de [tex3]tg(x)+sen(x)[/tex3]

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[tex3]tg(x)+sen(x)[/tex3]

, sabendo-se que [tex3]90º<x<180º[/tex3]

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[tex3]90º<x<180º[/tex3]

, e justificar a resposta.

Resposta

---

S/ GAB

OBS = Também mantive os quatro itens indicados na questão original, mesmo contrariando as regras do Fórum, no sentido de manter a originalidade da questão. Novamente não há necessidade de responder a todos os itens, mas qualquer item respondido será de enorme ajuda para os usuários do espaço.

[petras]

Jigsaw,

2) [tex3]y=\frac{7}{2}\left(x-\frac{4}{7}\right)+x^2 > 0 \implies x^2+\frac{7x}{2}-2 > 0 \Leftrightarrow\frac{1}{2}(x+4)(2x-1)>0\\
-----(-4)+++++++++++(I)\\
------------(\frac{1}{2})++++(II)\\
{\color{red}++++}(-4)------(\frac{1}{2}){\color{red}++++}(I).(II)\\
\therefore \boxed{x <-4 \vee x > \frac{1}{2}}[/tex3]

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[tex3]y=\frac{7}{2}\left(x-\frac{4}{7}\right)+x^2 > 0 \implies x^2+\frac{7x}{2}-2 > 0 \Leftrightarrow\frac{1}{2}(x+4)(2x-1)>0\\
-----(-4)+++++++++++(I)\\
------------(\frac{1}{2})++++(II)\\
{\color{red}++++}(-4)------(\frac{1}{2}){\color{red}++++}(I).(II)\\
\therefore \boxed{x <-4 \vee x > \frac{1}{2}}[/tex3]

3) Ao girarmos o triângulo ABC teremos um cilindro vazado por 2 cones

[tex3]\mathsf{
AB=AC =3 \implies BC^2=3^2+3^2 \therefore BC = 3\sqrt2=h_{cil}\\
V_{cil}=\pi r_{cil}^2h\\
r=h_\triangle ABC = \frac{3.3}{3\sqrt2}=\frac{3\sqrt2}{2}=h_{con}\\
\therefore V_{cil}=\pi.(\frac{3\sqrt2}{2})^2.3\sqrt2=\frac{27\pi\sqrt2}{2}\\
r_{con}=\frac{BD}{2}=\frac{BC}{2}=\frac{3\sqrt2}{2}\\
V_{con}=\frac{\pi r_{con}^2h_{con}}{3}=\frac{\pi . (\frac{3\sqrt2}{2})^2}3\frac{3\sqrt2}{2}=\frac{9\pi\sqrt2}{4}\\
V_{sólido} = V_{cil}-2V_{con} = \frac{27\pi\sqrt2}{2}-\frac{9\pi\sqrt2}{2} = \boxed{9\pi\sqrt2m^3}
}[/tex3]

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[tex3]\mathsf{
AB=AC =3 \implies BC^2=3^2+3^2 \therefore BC = 3\sqrt2=h_{cil}\\
V_{cil}=\pi r_{cil}^2h\\
r=h_\triangle ABC = \frac{3.3}{3\sqrt2}=\frac{3\sqrt2}{2}=h_{con}\\
\therefore V_{cil}=\pi.(\frac{3\sqrt2}{2})^2.3\sqrt2=\frac{27\pi\sqrt2}{2}\\
r_{con}=\frac{BD}{2}=\frac{BC}{2}=\frac{3\sqrt2}{2}\\
V_{con}=\frac{\pi r_{con}^2h_{con}}{3}=\frac{\pi . (\frac{3\sqrt2}{2})^2}3\frac{3\sqrt2}{2}=\frac{9\pi\sqrt2}{4}\\
V_{sólido} = V_{cil}-2V_{con} = \frac{27\pi\sqrt2}{2}-\frac{9\pi\sqrt2}{2} = \boxed{9\pi\sqrt2m^3}
}[/tex3]

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4) [tex3]tg(x)+sen(x)=\frac{sen(x)}{cos(x)}+sen(x)=sen(x)[\frac{cos(x)+1}{cos(x)}](I)\\
Se ~90^o < x < 180^o \implies sen(x) > 0\\
−1 < cos(x) < 0 \implies cos(x)+1>0\\
Em(I): (+)⋅\frac{(+)}{(−)}=\boxed{(−)}[/tex3]

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[tex3]tg(x)+sen(x)=\frac{sen(x)}{cos(x)}+sen(x)=sen(x)[\frac{cos(x)+1}{cos(x)}](I)\\
Se ~90^o < x < 180^o \implies sen(x) > 0\\
−1 < cos(x) < 0 \implies cos(x)+1>0\\
Em(I): (+)⋅\frac{(+)}{(−)}=\boxed{(−)}[/tex3]

[petras]

1) Seja, por exemplo, a soma a + b + c e n o divisor

a = q1.n + r1
b = q2.n + r2
c = q3.n + r3

a + b + c ... (q1.n + r1) + (q2.n + r2) + (q3.n + r3) .... (q1 + q2 + q3).n + (r1 + r2 + r3)
----------- = ---------------------------------------------- = --------------------------------------- =
..... n .................................. n ...................................................... n

........................ r1 + r2 + r3
(q1 + q2 + q3 + --------------- ---> q1 + q2 + q3 é inteiro
................................ n

O resto da soma dos números é igual ao resto da soma dos restos

Seja N = abc ---> N = 100.a + 10.b + c ---> N = 99.a + 9.b + (a + b + c) --->

N/9 = 11.a + b + (a + b + c)/9 ---> Soma dos algarismos deve ser divisível por 9

(Solução:Elcioschin)