IME / ITA ⇒ IME/ITA) Geometria Plana Tópico resolvido

[careca]

Suponha que exista um triângulo ABC de lados a, b, c e circunraio

R, tal que R ⋅ (b + c) = a b ⋅ c

Podemos afirmar que:

A) ABC é retângulo e isósceles.
B) ABC é um triângulo equilátero.
C) ABC é um triângulo obtusângulo.
D) não existe tal triângulo.
E) n.d.a.

Resposta

---

Gabarito = A

[LeoJaques]

Boa noite.

q4.png (26.01 KiB) Exibido 669 vezes

[tex3][ABC][/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3][ABC][/tex3]

Representa a área do triângulo ABC.

[tex3]R(b + c) = abc \Rightarrow \dfrac{abc}{4R} = \dfrac{b+c}{4} = [ABC] \ (I)[/tex3]

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[tex3]R(b + c) = abc \Rightarrow \dfrac{abc}{4R} = \dfrac{b+c}{4} = [ABC] \ (I)[/tex3]

[tex3]MA \geq MG[/tex3]

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[tex3]MA \geq MG[/tex3]

:
[tex3]\dfrac{b+c}{2} \geq \sqrt{bc} \ (II)[/tex3]

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[tex3]\dfrac{b+c}{2} \geq \sqrt{bc} \ (II)[/tex3]

Note que [tex3][ABC] = \dfrac{bcsen\alpha}{2} = \dfrac{abc}{4r}[/tex3]

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[tex3][ABC] = \dfrac{bcsen\alpha}{2} = \dfrac{abc}{4r}[/tex3]

, de (I) e (II) [tex3]\Rightarrow \dfrac{bcsen\alpha}{2} = \dfrac{b+c}{4} \Rightarrow bcsen\alpha \geq \sqrt{bc} \Rightarrow sen\alpha \geq \dfrac{\sqrt{bc}}{bc} \ (III) [/tex3]

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[tex3]\Rightarrow \dfrac{bcsen\alpha}{2} = \dfrac{b+c}{4} \Rightarrow bcsen\alpha \geq \sqrt{bc} \Rightarrow sen\alpha \geq \dfrac{\sqrt{bc}}{bc} \ (III) [/tex3]

Porém note que [tex3]\dfrac{a}{sen\alpha} = 2R [/tex3]

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[tex3]\dfrac{a}{sen\alpha} = 2R [/tex3]

, De (III) [tex3]\Rightarrow 2R \geq \dfrac{abc}{\sqrt{bc}} \Rightarrow \dfrac{\sqrt{bc}}{2} \geq
\dfrac{abc}{4R} = [ABC]\ (IV)[/tex3]

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[tex3]\Rightarrow 2R \geq \dfrac{abc}{\sqrt{bc}} \Rightarrow \dfrac{\sqrt{bc}}{2} \geq
\dfrac{abc}{4R} = [ABC]\ (IV)[/tex3]

Juntando (I), (II) e (IV), respectivamente:
[tex3]\dfrac{b+c}{4} = [ABC] \geq \dfrac{\sqrt{bc}}{{2}} \geq \dfrac{abc}{4R} = [ABC][/tex3]

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[tex3]\dfrac{b+c}{4} = [ABC] \geq \dfrac{\sqrt{bc}}{{2}} \geq \dfrac{abc}{4R} = [ABC][/tex3]

, logo a média entre [tex3]a[/tex3]

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[tex3]a[/tex3]

e [tex3]b[/tex3]

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[tex3]b[/tex3]

resulta na média geométrica, e para que a igualdade ocorra devemos ter a = b, portanto o triângulo é isósceles.

[petras]

careca,

Está correto o enunciado? Não encontrei essa relação no triãngulo retângulo-isósceles
A relação que se verifica é que [tex3]R(b+c) =a\sqrt {bc}[/tex3]

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[tex3]R(b+c) =a\sqrt {bc}[/tex3]

[petras]

Como o usuário não se prontificou a responder vou postar a solução da forma como propus.
[tex3]
\frac{a}{sen \angle A} = 2R\\ \frac{a}{2sen \angle A}(b+c)= a\sqrt{bc}\\ sen \angle A = \frac{b+c}{2\sqrt{bc}}\implies sen \angle A\sqrt{bc}=\frac{b+c}{2}\\
Mas~\underbrace{\frac{b+c}{2}} \geq \sqrt{bc} \therefore Seb=c \implies \frac{b+c}{2}=\sqrt{bc}\\
sen\angle A\sqrt{bc }\geq \sqrt{bc} \implies \text{a igualdade se verifica para}~ \boxed{b=c \wedge\ sen\angle A=1\therefore A= 90^o}\\
[/tex3]

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[tex3]
\frac{a}{sen \angle A} = 2R\\ \frac{a}{2sen \angle A}(b+c)= a\sqrt{bc}\\ sen \angle A = \frac{b+c}{2\sqrt{bc}}\implies sen \angle A\sqrt{bc}=\frac{b+c}{2}\\
Mas~\underbrace{\frac{b+c}{2}} \geq \sqrt{bc} \therefore Seb=c \implies \frac{b+c}{2}=\sqrt{bc}\\
sen\angle A\sqrt{bc }\geq \sqrt{bc} \implies \text{a igualdade se verifica para}~ \boxed{b=c \wedge\ sen\angle A=1\therefore A= 90^o}\\
[/tex3]

Portanto triângulo retângulo isósceles.
(Solução:LuisFuentes-adaptada)