IME / ITA ⇒ (ITA) Matrizes Tópico resolvido

[gouy]

Sejam A e B matrizes quadradas de ordem n tais que AB = A e BA = B. Então [(A + B)t]^2 é igual a:
a)[tex3](A+B)^{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](A+B)^{2}[/tex3]

b)2([tex3]A^{t}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]A^{t}[/tex3]

.[tex3]B^{t}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]B^{t}[/tex3]

)
c)2([tex3]A^{t} + B^{t}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]A^{t} + B^{t}[/tex3]

)
d)[tex3]A^{t} + B^{t}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]A^{t} + B^{t}[/tex3]

e)[tex3]A^{t}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]A^{t}[/tex3]

.[tex3]B^{t}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]B^{t}[/tex3]

Resposta

---

C

[petras]

gouy,

[tex3]\mathtt{[(A + B)^t]^2 = [(A + B)^2]^t = [A . A + AB + BA + BB]^t \\
= [\underbrace{AB}_{=A}A + AB + BA + \underbrace{BA}_{B}B]^t =\\
= [A(\underbrace{BA}_{=B} + B) + B(A + \underbrace{AB}_{=A})]^t =\\
= [A . (B + B) + B . (A + A)]^t =\\
= [A . 2B + B . 2A]t = [2(AB + BA)]^t =\\
= 2 . (A + B)^t = \boxed{2 . (A^t + B^t)} \color{green}\checkmark

}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\mathtt{[(A + B)^t]^2 = [(A + B)^2]^t = [A . A + AB + BA + BB]^t \\
= [\underbrace{AB}_{=A}A + AB + BA + \underbrace{BA}_{B}B]^t =\\
= [A(\underbrace{BA}_{=B} + B) + B(A + \underbrace{AB}_{=A})]^t =\\
= [A . (B + B) + B . (A + A)]^t =\\
= [A . 2B + B . 2A]t = [2(AB + BA)]^t =\\
= 2 . (A + B)^t = \boxed{2 . (A^t + B^t)} \color{green}\checkmark

}[/tex3]

(Solução:Objetivo)

[gouy]

gouy,

= [A . A + AB + BA + BB]^t \\
Por que AB+BA e não AB+AB? Por serem matrizes, a ordem importa, com isso fiquei um pouco confusa

[petras]

gouy,

A ordem importa.Basta fazer a distributiva

[tex3](A+B)(A+B) = A^2 +AB +BA+B^2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](A+B)(A+B) = A^2 +AB +BA+B^2[/tex3]