IME / ITA ⇒ (AFA - 2007) Números Complexos

[alison590]

Seja z um número complexo não nulo e i a unidade imaginária (i2= -1), z ≠ i. O conjunto de todos os valores de z, para os quais (Z+i)/1 +iZ é um número real, representa um(a)

a) elipse.
b) circunferência.
c) hipérbole.
d) círculo.

Resposta

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Gab B

[LostWalker]

Definindo a Parte Real e Imaginária

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Inicialmente, iremos definir qual a parte real e a imaginária, para isso, vamos definir que [tex3]z=a+bi[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]z=a+bi[/tex3]

. Disso, vamos substituir e simplificar para que não haja números imaginários no denominador.


[tex3]\frac{{\color{PineGreen}z}+i}{1+i{\color{PineGreen}z}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{{\color{PineGreen}z}+i}{1+i{\color{PineGreen}z}}[/tex3]

[tex3]\frac{{\color{PineGreen}a+bi}+i}{1+i{\color{PineGreen}(a+bi)}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{{\color{PineGreen}a+bi}+i}{1+i{\color{PineGreen}(a+bi)}}[/tex3]

[tex3]\frac{a+(1+b)i}{1+ai+{\color{Purple}bi^2}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{a+(1+b)i}{1+ai+{\color{Purple}bi^2}}[/tex3]

[tex3]\frac{a+(1+b)i}{1{\color{Purple}\,-\,b}+ai}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{a+(1+b)i}{1{\color{Purple}\,-\,b}+ai}[/tex3]

nota: agora, vamos multiplicar com o conjugado

[tex3]\frac{a+(1+b)i}{(1-b)+ai}\cdot\frac{(1-b)-ai}{(1-b)-ai}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{a+(1+b)i}{(1-b)+ai}\cdot\frac{(1-b)-ai}{(1-b)-ai}[/tex3]

[tex3]\frac{a(1-b)-a^2i+(1+b)(1-b)i-{\color{NavyBlue}(1+b)ai^2}}{(1-b)^2-(ai)^2}[/tex3]

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[tex3]\frac{a(1-b)-a^2i+(1+b)(1-b)i-{\color{NavyBlue}(1+b)ai^2}}{(1-b)^2-(ai)^2}[/tex3]

[tex3]\frac{a(1-b){\color{NavyBlue}\,+\,(1+b)a}\,-\,a^2i+(1+b)(1-b)i}{(1-b)^2+a^2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{a(1-b){\color{NavyBlue}\,+\,(1+b)a}\,-\,a^2i+(1+b)(1-b)i}{(1-b)^2+a^2}[/tex3]

nota: separando novamente a parte real e imaginária

[tex3]\frac{a\[1-{\color{Red}\cancel{\color{Black}b}}+1+{\color{Red}\cancel{\color{Black}b}}\]+\[(1+b)(1-b)-a^2\]i}{(1-b)^2+a^2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{a\[1-{\color{Red}\cancel{\color{Black}b}}+1+{\color{Red}\cancel{\color{Black}b}}\]+\[(1+b)(1-b)-a^2\]i}{(1-b)^2+a^2}[/tex3]

[tex3]\boxed{\frac{2a+\[(1+b)(1-b)-a^2\]i}{(1-b)^2+a^2}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\boxed{\frac{2a+\[(1+b)(1-b)-a^2\]i}{(1-b)^2+a^2}}[/tex3]

Zerando a Parte Imaginária

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Sabemos que essa equação só números reais, isso significa que ela não possui parte imaginária. Mas há uma parte imaginária na nossa equação, o que significa que ela obrigatoriamente igual a [tex3]0[/tex3]

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[tex3]0[/tex3]

:

[tex3]\boxed{\frac{2a+{\color{PineGreen}\[(1+b)(1-b)-a^2\]}i}{(1-b)^2+a^2}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\boxed{\frac{2a+{\color{PineGreen}\[(1+b)(1-b)-a^2\]}i}{(1-b)^2+a^2}}[/tex3]

[tex3]0={\color{PineGreen}\[(1+b)(1-b)-a^2\]}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]0={\color{PineGreen}\[(1+b)(1-b)-a^2\]}[/tex3]

[tex3]0=1^2-b^2-a^2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]0=1^2-b^2-a^2[/tex3]

[tex3]\color{MidNightBlue}\boxed{a^2+b^2=1}[/tex3]

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[tex3]\color{MidNightBlue}\boxed{a^2+b^2=1}[/tex3]

Isso é característico de uma circunferência.


[tex3]\color{MidNightBlue}\mbox{Alternativa B}[/tex3]

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[tex3]\color{MidNightBlue}\mbox{Alternativa B}[/tex3]

[alison590]

Muito obrigado, meu nobre! Q Deus lhe abenÇoe!