a) 5
b) 10
c) 15
d) 25
Resposta
d
IME / ITA ⇒ (EPCAR) Probabilidade Tópico resolvido
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castelohsi 
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Jun 2022
20
10:48
(EPCAR) Probabilidade
Cada uma das duas caixas contém bolas de gude pretas e brancas, e o número total de bolas de gude nas duas caixas é 25. Uma bola de gude é retirada de cada caixa aleatoriamente. A probabilidade de que ambas as bolinhas sejam pretas é 27/50, e a probabilidade de que ambas as bolinhas sejam brancas é m/n, onde m e n são números inteiros positivos primos entre si. Qual o valor de m∙n?
a) 5
b) 10
c) 15
d) 25
d
a) 5
b) 10
c) 15
d) 25
d
Última edição: ALDRIN (Seg 20 Jun, 2022 13:17). Total de 1 vez.
"E disse o divino: ame seu inimigo. Eu obedeci e amei a mim mesmo" - K. Gilbran
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LostWalker 
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Ago 2022
30
01:39
Re: (EPCAR) Probabilidade
Lidando com Ideias Não Intuitivas
Ao menos, no meu caso, foi bem natural a vontade de usar logo 4 variáveis, [tex3]\{b_1,b_2,p_1,p_2\}[/tex3] , mas o problema é, só temos duas informações, a quantidade total e uma multiplicação dos termos. Eu já havia tentado esse mesmo exercício mês passado e não tive sucesso. O que me incomodava é que esse estilo parece pedir que testemos valores para verificar os possíveis, mas há muitas variáveis, sendo necessário alguma triagem antes, hoje no trabalho eu encontrei um detalhe que facilitou eu encontrar a resposta mais tarde quando eu estava no ônibus.
Desenvolvimento Bruto
Vamos partir de Desenvolvimento Puro. Para as variáveis, [tex3]p,b[/tex3] se referem a cor, e [tex3]1,2[/tex3] a caixa correspondente. Dessa forma, é direto afirmar que:
[tex3]\frac{p_1}{(p_1+b_1)}\cdot\frac{p_2}{(p_2+b_2)}=\frac{27}{50}[/tex3]
Eu fiquei um bom tempo tentando embelezar isso, a primeira coisa, foi inverter os valores:
[tex3]\frac{(p_1+b_1)}{p_1}\cdot\frac{(p_2+b_2)}{p_2}=\frac{50}{27}[/tex3]
Disso, temos um desenvolvimento decente:
[tex3]\frac{(p_1+b_1)}{p_1}\cdot\frac{(p_2+b_2)}{p_2}=\frac{50}{27}[/tex3]
[tex3]\frac{p_1p_2+p_1b_2+p_2b_1+b_1b_2}{p_1p_2}=\frac{50}{27}[/tex3]
[tex3]{\color{Red}\cancel{\color{Black}\frac{p_1p_2}{p_1p_2}}^1}+\frac{{\color{Red}\cancel{\color{Black}p_1}}b_2}{{\color{Red}\cancel{\color{Black}p_1}}p_2}+\frac{{\color{Red}\cancel{\color{Black}p_2}}b_1}{p_1{\color{Red}\cancel{\color{Black}p_2}}}+\frac{b_1b_2}{p_1p_2}=\frac{50}{27}[/tex3]
[tex3]\frac{b_1}{p_1}+\frac{b_2}{p_2}+\frac{b_1b_2}{p_1p_2}=\frac{50}{27}-1[/tex3]
[tex3]{\color{PineGreen}\frac{b_1}{p_1}}+{\color{Purple}\frac{b_2}{p_2}}+{\color{PineGreen}\frac{b_1}{p_1}}\cdot{\color{Purple}\frac{b_2}{p_2}}=\frac{23}{27}[/tex3]
[tex3]{\color{PineGreen}r_1}+{\color{Purple}r_2}+{\color{PineGreen}r_1}\cdot{\color{Purple}r_2}=\frac{23}{27}[/tex3]
Agora sim, podemos tirar uma conclusão disso. Veja essas razões. Elas são a quantidade de bolinhas brancas dividido pela quantidade de bolinhas pretas. Perceba que, a soma de disso tudo é [tex3]\frac{23}{27}<1[/tex3] . E porque isso é importante? Ora, Se todos os termos são positivos, significa que TODOS os termos são menores que [tex3]1[/tex3] . Isso também significa que, obrigatoriamente:
[tex3]\cases{p_1>b_1\\p_2>b_2}[/tex3]
E isso, já já nos será muito útil.
Forçando Alguma Utilidade
Eu realmente tentei continuar desenvolvendo os números acima, mas é bem difícil só com dois dados chegar à alguma conclusão, e não importa o que eu fazia, era impossível aplicar [tex3]b_1+b_2+p_1+p_2=25[/tex3] de alguma forma satisfatória, então resolvi voltar à meios de tentar ir para as tentativas e erros.
Vamos observar a estrutura inicial:
[tex3]\frac{p_1}{\color{NavyBlue}(p_1+b_1)}\cdot\frac{p_2}{\color{NavyBlue}(p_2+b_2)}=\frac{27}{50}[/tex3]
Note que a parte destacada é quanto tem em cada caixa. Ora, sabemos que o resultado, somado os dois é [tex3]25[/tex3] , no mais, esses valores são obrigatoriamente números inteiros, então vamos fatorar o [tex3]50[/tex3] . O que temos é:
[tex3](p_1+b_1)(p_2+b_2)=k\cdot2\cdot5^2[/tex3]
Esse [tex3]k[/tex3] é apenas um termo para manter a proporção, já que esse [tex3]50[/tex3] vem de uma fração, ou seja, não é uma igualdade direta. A ideia aqui é transformar o número na direita em [tex3]2[/tex3] número que somados resultem em [tex3]25[/tex3]
O primeiro mais direto é:
[tex3]2\cdot5^2=2\cdot25~~\Longrightarrow~~2+25=27~~{\color{Red}\mbox{X}}[/tex3]
Bem, a única solução restante é:
[tex3]2\cdot5^2=5\cdot10~~\Longrightarrow~~5+10=15~~{\color{Red}\mbox{X}}[/tex3]
Certo, não conseguimos nada, mas não se esqueça que isso parte de uma fração. Ainda, note que há duas combinações interessantes para nós:
[tex3]\cases{(3\cdot5)\cdot10=15\cdot10\\(2\cdot10)\cdot5=20\cdot5}[/tex3]
Agora sim, os dois números multiplicados resultam em [tex3]25[/tex3] , e sim, nós podemos forçar isso a ocorrer:
Caso 1 - Multiplicar por 2
[tex3]\frac{p_1}{(p_1+b_1)}\cdot\frac{p_2}{(p_2+b_2)}=\frac{27}{50}\cdot\frac22[/tex3]
[tex3]\frac{p_1}{(p_1+b_1)}\cdot\frac{p_2}{(p_2+b_2)}=\frac{54}{100}[/tex3]
[tex3]\frac{p_1}{(p_1+b_1)}\cdot\frac{p_2}{(p_2+b_2)}=\frac{3^3\cdot2}{20\cdot5}[/tex3]
Agora note o desenvolvimento, as caixas são arbitrárias, vamos dizer que a primeira caixa possui [tex3]5[/tex3] bolinhas. Ou seja, a quantidade bolinhas pretas na primeira caixa é menor que [tex3]5[/tex3] . Sabe-se que [tex3]p_1p_2=2\cdot3^3[/tex3] , então o único número disponível para a bolinha preta é [tex3]3[/tex3] , já que, se fosse [tex3]2[/tex3] , iria ferir o que encontramos que nas duas caixas há mais bolinhas pretas dos que brancas, ou seja:
[tex3]\cases{p_1=3\\b_1=2}[/tex3]
Dessa forma o que resta é [tex3]p_2=2\cdot3^2=18[/tex3] . O que ainda obedece ser menos que a quantidade na caixa (que para a segunda é [tex3]20[/tex3] ) e a mais bolinhas pretas do que brancas, logo, uma resolução aceitável é:
[tex3]\boxed{\cases{p_1=3\\b_1=2\\p_2=18\\b_2=2}}~~{\color{Green}\checkmark}[/tex3]
Caso 2 - Multiplicar por 3
[tex3]\frac{p_1}{(p_1+b_1)}\cdot\frac{p_2}{(p_2+b_2)}=\frac{27}{50}\cdot\frac33[/tex3]
[tex3]\frac{p_1}{(p_1+b_1)}\cdot\frac{p_2}{(p_2+b_2)}=\frac{3^4}{150}[/tex3]
[tex3]\frac{p_1}{(p_1+b_1)}\cdot\frac{p_2}{(p_2+b_2)}=\frac{3^4}{10\cdot15}[/tex3]
Vamos na mesma ideia, vamos tomar arbitrariamente que a primeira caixa possui [tex3]10[/tex3] bolinhas, logo, a única quantidade de bolinhas pretas possível inferior a caixa e superior a quantidade de bolinhas brancas é [tex3]9[/tex3] , isso vai resultar que a segunda caixa tem [tex3]9[/tex3] também e sobrará [tex3]6[/tex3] brancas, o que ainda cumpre todas as exigências, logo:
[tex3]\boxed{\cases{p_1=9\\b_1=1\\p_2=9\\b_2=6}}~~{\color{Green}\checkmark}[/tex3]
Encontrando [tex3]m[/tex3] e [tex3]n[/tex3]
Como encontramos duas solução faremos para as duas. Elas seguiram que:
[tex3]\frac{b_1}{(p_1+b_1)}\cdot\frac{b_2}{(p_2+b_2)}=\frac mn[/tex3]
Caso 1 - Multiplicado por 2
[tex3]\frac{2}{5}\cdot\frac{2}{20}=\frac mn[/tex3]
[tex3]\frac1{25}=\frac mn[/tex3]
[tex3]\color{MidNightBlue}\boxed{m\cdot n=25}[/tex3]
Caso 2 - Multiplicado por 3
[tex3]\frac{1}{10}\cdot\frac{6}{15}=\frac mn[/tex3]
[tex3]\frac1{25}=\frac mn[/tex3]
[tex3]\color{MidNightBlue}\boxed{m\cdot n=25}[/tex3]
Os dois casos curiosamente chegam à mesma conclusão, então só nos resta definir [tex3]\color{MidNightBlue}\mbox{Alternativa D}[/tex3]
Ao menos, no meu caso, foi bem natural a vontade de usar logo 4 variáveis, [tex3]\{b_1,b_2,p_1,p_2\}[/tex3] , mas o problema é, só temos duas informações, a quantidade total e uma multiplicação dos termos. Eu já havia tentado esse mesmo exercício mês passado e não tive sucesso. O que me incomodava é que esse estilo parece pedir que testemos valores para verificar os possíveis, mas há muitas variáveis, sendo necessário alguma triagem antes, hoje no trabalho eu encontrei um detalhe que facilitou eu encontrar a resposta mais tarde quando eu estava no ônibus.
Desenvolvimento Bruto
Vamos partir de Desenvolvimento Puro. Para as variáveis, [tex3]p,b[/tex3] se referem a cor, e [tex3]1,2[/tex3] a caixa correspondente. Dessa forma, é direto afirmar que:
[tex3]\frac{p_1}{(p_1+b_1)}\cdot\frac{p_2}{(p_2+b_2)}=\frac{27}{50}[/tex3]
Eu fiquei um bom tempo tentando embelezar isso, a primeira coisa, foi inverter os valores:
[tex3]\frac{(p_1+b_1)}{p_1}\cdot\frac{(p_2+b_2)}{p_2}=\frac{50}{27}[/tex3]
Disso, temos um desenvolvimento decente:
[tex3]\frac{(p_1+b_1)}{p_1}\cdot\frac{(p_2+b_2)}{p_2}=\frac{50}{27}[/tex3]
[tex3]\frac{p_1p_2+p_1b_2+p_2b_1+b_1b_2}{p_1p_2}=\frac{50}{27}[/tex3]
[tex3]{\color{Red}\cancel{\color{Black}\frac{p_1p_2}{p_1p_2}}^1}+\frac{{\color{Red}\cancel{\color{Black}p_1}}b_2}{{\color{Red}\cancel{\color{Black}p_1}}p_2}+\frac{{\color{Red}\cancel{\color{Black}p_2}}b_1}{p_1{\color{Red}\cancel{\color{Black}p_2}}}+\frac{b_1b_2}{p_1p_2}=\frac{50}{27}[/tex3]
[tex3]\frac{b_1}{p_1}+\frac{b_2}{p_2}+\frac{b_1b_2}{p_1p_2}=\frac{50}{27}-1[/tex3]
[tex3]{\color{PineGreen}\frac{b_1}{p_1}}+{\color{Purple}\frac{b_2}{p_2}}+{\color{PineGreen}\frac{b_1}{p_1}}\cdot{\color{Purple}\frac{b_2}{p_2}}=\frac{23}{27}[/tex3]
[tex3]{\color{PineGreen}r_1}+{\color{Purple}r_2}+{\color{PineGreen}r_1}\cdot{\color{Purple}r_2}=\frac{23}{27}[/tex3]
Agora sim, podemos tirar uma conclusão disso. Veja essas razões. Elas são a quantidade de bolinhas brancas dividido pela quantidade de bolinhas pretas. Perceba que, a soma de disso tudo é [tex3]\frac{23}{27}<1[/tex3] . E porque isso é importante? Ora, Se todos os termos são positivos, significa que TODOS os termos são menores que [tex3]1[/tex3] . Isso também significa que, obrigatoriamente:
[tex3]\cases{p_1>b_1\\p_2>b_2}[/tex3]
E isso, já já nos será muito útil.
Forçando Alguma Utilidade
Eu realmente tentei continuar desenvolvendo os números acima, mas é bem difícil só com dois dados chegar à alguma conclusão, e não importa o que eu fazia, era impossível aplicar [tex3]b_1+b_2+p_1+p_2=25[/tex3] de alguma forma satisfatória, então resolvi voltar à meios de tentar ir para as tentativas e erros.
Vamos observar a estrutura inicial:
[tex3]\frac{p_1}{\color{NavyBlue}(p_1+b_1)}\cdot\frac{p_2}{\color{NavyBlue}(p_2+b_2)}=\frac{27}{50}[/tex3]
Note que a parte destacada é quanto tem em cada caixa. Ora, sabemos que o resultado, somado os dois é [tex3]25[/tex3] , no mais, esses valores são obrigatoriamente números inteiros, então vamos fatorar o [tex3]50[/tex3] . O que temos é:
[tex3](p_1+b_1)(p_2+b_2)=k\cdot2\cdot5^2[/tex3]
Esse [tex3]k[/tex3] é apenas um termo para manter a proporção, já que esse [tex3]50[/tex3] vem de uma fração, ou seja, não é uma igualdade direta. A ideia aqui é transformar o número na direita em [tex3]2[/tex3] número que somados resultem em [tex3]25[/tex3]
O primeiro mais direto é:
[tex3]2\cdot5^2=2\cdot25~~\Longrightarrow~~2+25=27~~{\color{Red}\mbox{X}}[/tex3]
Bem, a única solução restante é:
[tex3]2\cdot5^2=5\cdot10~~\Longrightarrow~~5+10=15~~{\color{Red}\mbox{X}}[/tex3]
Certo, não conseguimos nada, mas não se esqueça que isso parte de uma fração. Ainda, note que há duas combinações interessantes para nós:
[tex3]\cases{(3\cdot5)\cdot10=15\cdot10\\(2\cdot10)\cdot5=20\cdot5}[/tex3]
Agora sim, os dois números multiplicados resultam em [tex3]25[/tex3] , e sim, nós podemos forçar isso a ocorrer:
Caso 1 - Multiplicar por 2
[tex3]\frac{p_1}{(p_1+b_1)}\cdot\frac{p_2}{(p_2+b_2)}=\frac{27}{50}\cdot\frac22[/tex3]
[tex3]\frac{p_1}{(p_1+b_1)}\cdot\frac{p_2}{(p_2+b_2)}=\frac{54}{100}[/tex3]
[tex3]\frac{p_1}{(p_1+b_1)}\cdot\frac{p_2}{(p_2+b_2)}=\frac{3^3\cdot2}{20\cdot5}[/tex3]
Agora note o desenvolvimento, as caixas são arbitrárias, vamos dizer que a primeira caixa possui [tex3]5[/tex3] bolinhas. Ou seja, a quantidade bolinhas pretas na primeira caixa é menor que [tex3]5[/tex3] . Sabe-se que [tex3]p_1p_2=2\cdot3^3[/tex3] , então o único número disponível para a bolinha preta é [tex3]3[/tex3] , já que, se fosse [tex3]2[/tex3] , iria ferir o que encontramos que nas duas caixas há mais bolinhas pretas dos que brancas, ou seja:
[tex3]\cases{p_1=3\\b_1=2}[/tex3]
Dessa forma o que resta é [tex3]p_2=2\cdot3^2=18[/tex3] . O que ainda obedece ser menos que a quantidade na caixa (que para a segunda é [tex3]20[/tex3] ) e a mais bolinhas pretas do que brancas, logo, uma resolução aceitável é:
[tex3]\boxed{\cases{p_1=3\\b_1=2\\p_2=18\\b_2=2}}~~{\color{Green}\checkmark}[/tex3]
Caso 2 - Multiplicar por 3
[tex3]\frac{p_1}{(p_1+b_1)}\cdot\frac{p_2}{(p_2+b_2)}=\frac{27}{50}\cdot\frac33[/tex3]
[tex3]\frac{p_1}{(p_1+b_1)}\cdot\frac{p_2}{(p_2+b_2)}=\frac{3^4}{150}[/tex3]
[tex3]\frac{p_1}{(p_1+b_1)}\cdot\frac{p_2}{(p_2+b_2)}=\frac{3^4}{10\cdot15}[/tex3]
Vamos na mesma ideia, vamos tomar arbitrariamente que a primeira caixa possui [tex3]10[/tex3] bolinhas, logo, a única quantidade de bolinhas pretas possível inferior a caixa e superior a quantidade de bolinhas brancas é [tex3]9[/tex3] , isso vai resultar que a segunda caixa tem [tex3]9[/tex3] também e sobrará [tex3]6[/tex3] brancas, o que ainda cumpre todas as exigências, logo:
[tex3]\boxed{\cases{p_1=9\\b_1=1\\p_2=9\\b_2=6}}~~{\color{Green}\checkmark}[/tex3]
Encontrando [tex3]m[/tex3] e [tex3]n[/tex3]
Como encontramos duas solução faremos para as duas. Elas seguiram que:
[tex3]\frac{b_1}{(p_1+b_1)}\cdot\frac{b_2}{(p_2+b_2)}=\frac mn[/tex3]
Caso 1 - Multiplicado por 2
[tex3]\frac{2}{5}\cdot\frac{2}{20}=\frac mn[/tex3]
[tex3]\frac1{25}=\frac mn[/tex3]
[tex3]\color{MidNightBlue}\boxed{m\cdot n=25}[/tex3]
Caso 2 - Multiplicado por 3
[tex3]\frac{1}{10}\cdot\frac{6}{15}=\frac mn[/tex3]
[tex3]\frac1{25}=\frac mn[/tex3]
[tex3]\color{MidNightBlue}\boxed{m\cdot n=25}[/tex3]
Os dois casos curiosamente chegam à mesma conclusão, então só nos resta definir [tex3]\color{MidNightBlue}\mbox{Alternativa D}[/tex3]
Última edição: LostWalker (Ter 30 Ago, 2022 01:45). Total de 1 vez.
Razão: correções gramaticáis e ajustes
Razão: correções gramaticáis e ajustes
"[...] Mas essa é a graça dos encontros e desencontros: a Coincidência e o Destino. Se pudesse resumir, diria: A causalidade é a Ironia do Universo."
-Melly
-Melly
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