IME / ITA ⇒ (IME - 2008) Álgebra e Fatoração Tópico resolvido

[Pokkei]

O par ordenado [tex3](x, y)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](x, y)[/tex3]

com [tex3]x[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x[/tex3]

e [tex3]y[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]y[/tex3]

inteiros e positivos, satisfaz a equação [tex3]5x^2+2y^2=11(xy-11)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]5x^2+2y^2=11(xy-11)[/tex3]

. O valor [tex3]x + y[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x + y[/tex3]

é

a) [tex3]160[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]160[/tex3]

b) [tex3]122[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]122[/tex3]

c) [tex3]81[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]81[/tex3]

d) [tex3]41[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]41[/tex3]

e) [tex3]11[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]11[/tex3]

Resposta

---

d

[petras]

[tex3]\mathrm{
5x^2 - 11xy + 2y^2 = (5x - y)(x- 2y) = -121\\

\text {x e y sao inteiros positivos} \therefore (5x-t), (x-2y) são~inteiros~e~divisores~ de -121:\\
5x - y = 121, -121, 11, -11, 1, -1\\
x - 2y = -1, 1, -11, 11, -121, 121\\
\text{Montando os sistemas o único que fornecerá x e y inteiros positivos será:}\\
\begin{cases}
5x-y = 121 \\
x-2y=-1
\end{cases}
\implies x = 27, y = 14 \therefore \boxed{(x+y) = 41}\color{green}\checkmark}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\mathrm{
5x^2 - 11xy + 2y^2 = (5x - y)(x- 2y) = -121\\

\text {x e y sao inteiros positivos} \therefore (5x-t), (x-2y) são~inteiros~e~divisores~ de -121:\\
5x - y = 121, -121, 11, -11, 1, -1\\
x - 2y = -1, 1, -11, 11, -121, 121\\
\text{Montando os sistemas o único que fornecerá x e y inteiros positivos será:}\\
\begin{cases}
5x-y = 121 \\
x-2y=-1
\end{cases}
\implies x = 27, y = 14 \therefore \boxed{(x+y) = 41}\color{green}\checkmark}[/tex3]