a) [tex3]x^2= 4y+1[/tex3]
b) [tex3]y^2= 4x[/tex3]
c) [tex3]y = -x+2[/tex3]
d) [tex3]x^2+(y-2) = 4[/tex3]
e) [tex3](y-1)^2= 4x+1[/tex3]
Resposta
e)
IME / ITA ⇒ (IME - 2021/2022) Geometria Analítica Tópico resolvido
Moderador: [ Moderadores TTB ]
Abr 2022
08
20:00
(IME - 2021/2022) Geometria Analítica
Considere o ponto [tex3]A(-4,2)[/tex3]
e [tex3]B[/tex3]
um ponto variável sobre eixo das ordenadas. Traçam-se as retas [tex3]AB[/tex3]
e por [tex3]B[/tex3]
, a perpendicular a [tex3]AB[/tex3]
que intercepta o eixo das abcissas em [tex3]C[/tex3]
. Seja a equação do lugar geométrico do ponto de interseção da perpendicular ao eixo das abcissas traçada por [tex3]C[/tex3]
com a perpendicular ao eixo das ordenadas traçada por [tex3]B[/tex3]
. A equação desse lugar geométrico é:
a) [tex3]x^2= 4y+1[/tex3]
b) [tex3]y^2= 4x[/tex3]
c) [tex3]y = -x+2[/tex3]
d) [tex3]x^2+(y-2) = 4[/tex3]
e) [tex3](y-1)^2= 4x+1[/tex3]
e)
a) [tex3]x^2= 4y+1[/tex3]
b) [tex3]y^2= 4x[/tex3]
c) [tex3]y = -x+2[/tex3]
d) [tex3]x^2+(y-2) = 4[/tex3]
e) [tex3](y-1)^2= 4x+1[/tex3]
e)
Última edição: ALDRIN (Sáb 09 Abr, 2022 12:37). Total de 2 vezes.
-
joaopcarv 
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Abr 2022
08
22:12
Re: (IME - 2021/2022) Geometria Analítica
Utilizaremos o seguinte anexo:
Sendo [tex3]\mathsf{B}[/tex3]
um ponto qualquer sobre o eixo das ordenadas, seja [tex3]\mathsf{y}[/tex3]
a sua ordenada.
A reta [tex3]\mathsf{\overline{AB}}[/tex3] tem coeficiente angular [tex3]\mathsf{m_1 \ = \ \dfrac{2 \ - \ y}{-4 \ - \ 0} \ = \ \dfrac{y \ - \ 2}{4}}[/tex3] . Logo, a reta [tex3]\mathsf{\overline{BC}}[/tex3] tem coeficiente angular [tex3]\mathsf{m_2 \ = \ \dfrac{-1}{m_1} \ \therefore \ m_2 \ = \ \dfrac{4}{2 \ - \ y}}[/tex3] e coeficiente linear [tex3]\mathsf{y.}[/tex3] .
Essa reta corta o eixo das abcissas em [tex3]\mathsf{C \ = \ (x,0)}[/tex3] :
[tex3]\mathsf{\dfrac{4}{2 \ - \ y} \cdot x \ + \ y \ = \ 0}[/tex3]
O lugar geométrico pedido tem justamente coordenadas [tex3]\mathsf{(x,y)}[/tex3] , conforme pode-se ver no anexo. Então, trabalhando na equação achada e completando quadrados:
[tex3]\mathsf{4\cdot x \ + \ y \cdot (2 \ - \ y)\ = \ 0}[/tex3]
[tex3]\mathsf{4\cdot x \ + \ 2\cdot y \ - \ y^2 \ = \ 0}[/tex3]
[tex3]\mathsf{4\cdot x \ = \ y^2 \ - \ 2\cdot y}[/tex3]
[tex3]\mathsf{4\cdot x \ + \ 1 \ = \ y^2 \ - \ 2\cdot y \ + \ 1}[/tex3]
[tex3]\boxed{\mathsf{4\cdot x \ + \ 1 \ = (y \ - \ 1)^2}}[/tex3]
- IME.jpg (659.96 KiB) Exibido 1321 vezes
A reta [tex3]\mathsf{\overline{AB}}[/tex3] tem coeficiente angular [tex3]\mathsf{m_1 \ = \ \dfrac{2 \ - \ y}{-4 \ - \ 0} \ = \ \dfrac{y \ - \ 2}{4}}[/tex3] . Logo, a reta [tex3]\mathsf{\overline{BC}}[/tex3] tem coeficiente angular [tex3]\mathsf{m_2 \ = \ \dfrac{-1}{m_1} \ \therefore \ m_2 \ = \ \dfrac{4}{2 \ - \ y}}[/tex3] e coeficiente linear [tex3]\mathsf{y.}[/tex3] .
Essa reta corta o eixo das abcissas em [tex3]\mathsf{C \ = \ (x,0)}[/tex3] :
[tex3]\mathsf{\dfrac{4}{2 \ - \ y} \cdot x \ + \ y \ = \ 0}[/tex3]
O lugar geométrico pedido tem justamente coordenadas [tex3]\mathsf{(x,y)}[/tex3] , conforme pode-se ver no anexo. Então, trabalhando na equação achada e completando quadrados:
[tex3]\mathsf{4\cdot x \ + \ y \cdot (2 \ - \ y)\ = \ 0}[/tex3]
[tex3]\mathsf{4\cdot x \ + \ 2\cdot y \ - \ y^2 \ = \ 0}[/tex3]
[tex3]\mathsf{4\cdot x \ = \ y^2 \ - \ 2\cdot y}[/tex3]
[tex3]\mathsf{4\cdot x \ + \ 1 \ = \ y^2 \ - \ 2\cdot y \ + \ 1}[/tex3]
[tex3]\boxed{\mathsf{4\cdot x \ + \ 1 \ = (y \ - \ 1)^2}}[/tex3]
Última edição: joaopcarv (Sex 08 Abr, 2022 22:14). Total de 1 vez.
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"Last year's wishes are this year's apologies... Every last time I come home (...)"
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LostWalker 
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Abr 2022
08
22:40
Re: (IME - 2021/2022) Geometria Analítica
Ordenada e Abcissa
SHOW. Essa questão foi TOP. Eu diria que a parte mais confusa é entender o enunciado, mas tirando isso, a conta sai até que bem rápida. Vamos começar por um detalhe no final:
Coeficiente Angular e Retas Perpendiculares
A questão cita a aparição de retas perpendiculares. De quebra, a primeira coisa que precisamos calcular é o coeficiente linear da primeira reta. Veja que podemos dizer que [tex3]B(0,y)[/tex3] , vamos escrever o coeficiente linear por esse ponto e por [tex3]A(-4,2)[/tex3] :
[tex3]m_1=\frac{y-2}{0-(-4)}[/tex3]
[tex3]\boxed{m_1=\frac{y-2}4}[/tex3]
Agora, sabemos que uma reta perpendicular a primeira, passa por [tex3]B(0,y)[/tex3] e por [tex3]C(x,0)[/tex3] . Mas note que, primeiro, já temos os valores de [tex3]B[/tex3] e [tex3]C[/tex3] , e podemos encontrar o coeficiente, sendo ele perpendicular a primeira reta, segue a regra:
[tex3]m_1m_2=-1[/tex3]
Ou seja:
[tex3]\frac{y-2}4\cdot m_2=-1[/tex3]
[tex3]\boxed{m_2=\frac4{2-y}}[/tex3]
Definindo a Equação
Como dito anteriormente, temos os pontos, mas agora também temos o coeficiente, podemos juntar tudo, formando:
[tex3]m_2=\frac{y_B-y_C}{x_B-y_C}[/tex3]
[tex3]\frac4{2-y}=\frac{y-0}{0-x}[/tex3]
[tex3]\frac4{2-y}=-\frac yx[/tex3]
[tex3]\frac4{y-2}=\frac yx[/tex3]
[tex3]4x=y(y-2)[/tex3]
[tex3]4x+{\color{PineGreen}1}=y^2-2y+{\color{PineGreen}1}[/tex3]
nota: para completar o quadrado
[tex3]\color{MidNightBlue}\boxed{(y-1)^2=4x+1}[/tex3]
[tex3]\color{MidNightBlue}\mbox{Alternativa E}[/tex3]
SHOW. Essa questão foi TOP. Eu diria que a parte mais confusa é entender o enunciado, mas tirando isso, a conta sai até que bem rápida. Vamos começar por um detalhe no final:
Se você conseguir entender essa partes, note que, o lugar geométrico é justamente a abcissa de [tex3]C[/tex3] e a ordenada de [tex3]B[/tex3] . Se ficar difícil de visualizar, me da um toque que eu faço umas ilustrações.
Coeficiente Angular e Retas Perpendiculares
A questão cita a aparição de retas perpendiculares. De quebra, a primeira coisa que precisamos calcular é o coeficiente linear da primeira reta. Veja que podemos dizer que [tex3]B(0,y)[/tex3] , vamos escrever o coeficiente linear por esse ponto e por [tex3]A(-4,2)[/tex3] :
[tex3]m_1=\frac{y-2}{0-(-4)}[/tex3]
[tex3]\boxed{m_1=\frac{y-2}4}[/tex3]
Agora, sabemos que uma reta perpendicular a primeira, passa por [tex3]B(0,y)[/tex3] e por [tex3]C(x,0)[/tex3] . Mas note que, primeiro, já temos os valores de [tex3]B[/tex3] e [tex3]C[/tex3] , e podemos encontrar o coeficiente, sendo ele perpendicular a primeira reta, segue a regra:
[tex3]m_1m_2=-1[/tex3]
Ou seja:
[tex3]\frac{y-2}4\cdot m_2=-1[/tex3]
[tex3]\boxed{m_2=\frac4{2-y}}[/tex3]
Definindo a Equação
Como dito anteriormente, temos os pontos, mas agora também temos o coeficiente, podemos juntar tudo, formando:
[tex3]m_2=\frac{y_B-y_C}{x_B-y_C}[/tex3]
[tex3]\frac4{2-y}=\frac{y-0}{0-x}[/tex3]
[tex3]\frac4{2-y}=-\frac yx[/tex3]
[tex3]\frac4{y-2}=\frac yx[/tex3]
[tex3]4x=y(y-2)[/tex3]
[tex3]4x+{\color{PineGreen}1}=y^2-2y+{\color{PineGreen}1}[/tex3]
nota: para completar o quadrado
[tex3]\color{MidNightBlue}\boxed{(y-1)^2=4x+1}[/tex3]
[tex3]\color{MidNightBlue}\mbox{Alternativa E}[/tex3]
"[...] Mas essa é a graça dos encontros e desencontros: a Coincidência e o Destino. Se pudesse resumir, diria: A causalidade é a Ironia do Universo."
-Melly
-Melly
Abr 2022
09
12:38
Re: (IME) Geometria analítica
Muito obrigado pelas resoluções LostWalker e joaopcarv
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