Olimpíadas ⇒ Áreas (Olímpiada Argentina 1995) Tópico resolvido

[papirador]

Seja ABC um triângulo escaleno de área 7. Seja A1 um ponto do lado BC e sejam B1 e C1 nas retas AC e AB, respectivamente, tais que AA1, BB1 e CC1 são paralelas. O valor da área do triângulo A1B1C1 é:
A)16
B)15
C)14
D)21
E)12

Resposta

---

C

[FelipeMartin]

O problema é equivalente a mostrar que [tex3]A[/tex3]

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[tex3]A[/tex3]

é ponto médio de [tex3]A_1D[/tex3]

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[tex3]A_1D[/tex3]

.

Resposta

---

Vejamos a relação entre as áreas dos [tex3]\triangle DA_1C_1[/tex3]

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[tex3]\triangle DA_1C_1[/tex3]

e [tex3]\triangle A_1C_1C[/tex3]

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[tex3]\triangle A_1C_1C[/tex3]

:

[tex3]\frac{S_{DA_1C_1}}{S_{A_1C_1C}} = \frac{A_1D \cdot A_1C_1}{A_1C_1 \cdot C_1C} = \frac{A_1D}{CC_1} [/tex3]

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[tex3]\frac{S_{DA_1C_1}}{S_{A_1C_1C}} = \frac{A_1D \cdot A_1C_1}{A_1C_1 \cdot C_1C} = \frac{A_1D}{CC_1} [/tex3]

Definamos [tex3]x = A_1B[/tex3]

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[tex3]x = A_1B[/tex3]

e [tex3]y = A_1C = BC - A_1B = a - x[/tex3]

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[tex3]y = A_1C = BC - A_1B = a - x[/tex3]

.

[tex3]\triangle BAA_1 \sim \triangle BCC_1[/tex3]

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[tex3]\triangle BAA_1 \sim \triangle BCC_1[/tex3]

:

[tex3]\frac{CC_1}{AA_1} = \frac{BC}{BA_1} = \frac{a}x[/tex3]

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[tex3]\frac{CC_1}{AA_1} = \frac{BC}{BA_1} = \frac{a}x[/tex3]

.

Sabemos também que:

[tex3]\frac{S_{A_1CC_1}}{S_{BCC_1}} = \frac{A_1C}{BC} = 1 - \frac xa[/tex3]

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[tex3]\frac{S_{A_1CC_1}}{S_{BCC_1}} = \frac{A_1C}{BC} = 1 - \frac xa[/tex3]

.

Por fim: [tex3]\frac{S_{BCC_1}}{S_{BAA_1}} = (\frac{a}{x})^2[/tex3]

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[tex3]\frac{S_{BCC_1}}{S_{BAA_1}} = (\frac{a}{x})^2[/tex3]

.

Dai: [tex3]S_{DA_1C_1} = S_{BAA_1} (\frac ax)^2(1- \frac xa) \cdot \frac{A_1D x}{AA_1a} = S_{BAA_1} (\frac ax -1)\cdot \frac{A_1D}{AA_1}[/tex3]

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[tex3]S_{DA_1C_1} = S_{BAA_1} (\frac ax)^2(1- \frac xa) \cdot \frac{A_1D x}{AA_1a} = S_{BAA_1} (\frac ax -1)\cdot \frac{A_1D}{AA_1}[/tex3]

[tex3]S_{DB_1A_1} = S_{AA_1C} \frac x{a-x} \frac{A_1D}{AA_1}[/tex3]

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[tex3]S_{DB_1A_1} = S_{AA_1C} \frac x{a-x} \frac{A_1D}{AA_1}[/tex3]

Por fim: [tex3]\frac{S_{BAA_1}}{S_{ABC}} = \frac{x}{a}[/tex3]

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[tex3]\frac{S_{BAA_1}}{S_{ABC}} = \frac{x}{a}[/tex3]

e [tex3]S_{ACA_1} = S_{ABC} \frac{(a-x)}a[/tex3]

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[tex3]S_{ACA_1} = S_{ABC} \frac{(a-x)}a[/tex3]

.

Pronto:

[tex3]S_{B_1C_1A_1} = S_{DB_1A_1}+S_{DA_1C_1} = S_{ABC}(1-\frac xa) \frac{A_1D}{AA_1} + S_{ABC} \frac xa \frac{A_1D}{AA_1} = S_{ABC} \frac{A_1D}{AA_1}[/tex3]

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[tex3]S_{B_1C_1A_1} = S_{DB_1A_1}+S_{DA_1C_1} = S_{ABC}(1-\frac xa) \frac{A_1D}{AA_1} + S_{ABC} \frac xa \frac{A_1D}{AA_1} = S_{ABC} \frac{A_1D}{AA_1}[/tex3]

Usamos o resultado do undefinied pra provar isso. Seja [tex3]X = B_1C_1 \cap BC[/tex3]

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[tex3]X = B_1C_1 \cap BC[/tex3]

, então, pelo teorema de Ceva, [tex3]AX[/tex3]

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[tex3]AX[/tex3]

é mediana do [tex3]\triangle XBB_1[/tex3]

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[tex3]\triangle XBB_1[/tex3]

(pois [tex3]CC_1 \parallel BB_1[/tex3]

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[tex3]CC_1 \parallel BB_1[/tex3]

), porém, como [tex3]\triangle XBB_1 \sim \triangle XA_1D[/tex3]

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[tex3]\triangle XBB_1 \sim \triangle XA_1D[/tex3]

, temos que [tex3]AX[/tex3]

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[tex3]AX[/tex3]

também é mediana de [tex3]A_1D[/tex3]

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[tex3]A_1D[/tex3]

, logo, [tex3]AA_1= AD[/tex3]

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[tex3]AA_1= AD[/tex3]

, donde a área deseja é o dobro da área do [tex3]\triangle ABC[/tex3]

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[tex3]\triangle ABC[/tex3]

. Letra c.