IME / ITA ⇒ (ITA-1950) Determinante Tópico resolvido

[Jigsaw]

Calcule o determinante

[tex3]\begin{vmatrix}
-3 & 0 & 8 \\
4 & 7 & -5 \\
-6 & 2 & 10 \\
\end{vmatrix}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\begin{vmatrix}
-3 & 0 & 8 \\
4 & 7 & -5 \\
-6 & 2 & 10 \\
\end{vmatrix}[/tex3]

e explique o significado dos determinantes na resolução de um sistema de equações simultâneas.

Resposta

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S/ GAB

OBS = Também mantive os dois itens da questão mesmo contrariando as regras do Forum, no sentido de manter a originalidade da questão.

[LostWalker]

Calculo de Determinante

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Poderíamos calcular direto? Poderíamos. Vamos simplificar antes disso? Sim.

[tex3]\begin{vmatrix}-3&0&8\\4&7&-5\\-6&2&10\\\end{vmatrix}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\begin{vmatrix}-3&0&8\\4&7&-5\\-6&2&10\\\end{vmatrix}[/tex3]

[tex3]\cases{\,\,\mbox{II}=\mbox{II}+\mbox{I}\\\mbox{III}\,=\mbox{III}-2\mbox{I}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\cases{\,\,\mbox{II}=\mbox{II}+\mbox{I}\\\mbox{III}\,=\mbox{III}-2\mbox{I}}[/tex3]

[tex3]\begin{vmatrix}-3&0&8\\1&7&3\\0&2&-6\\\end{vmatrix}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\begin{vmatrix}-3&0&8\\1&7&3\\0&2&-6\\\end{vmatrix}[/tex3]

Agora, vamos aplicar Sarrus:

[tex3]\det\begin{vmatrix}-3&0&8\\1&7&3\\0&2&-6\\\end{vmatrix}=\begin{matrix}(-3)\cdot7\cdot(-6)+{\color{Red}\cancel{\color{Black}0\cdot3\cdot0}}+8\cdot1\cdot2\\-\[(-3)\cdot3\cdot2+{\color{Red}\cancel{\color{Black}0\cdot1\cdot(-6)}}+{\color{Red}\cancel{\color{Black}8\cdot7\cdot0}}\]\end{matrix}=126+16+18=\boxed{160}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\det\begin{vmatrix}-3&0&8\\1&7&3\\0&2&-6\\\end{vmatrix}=\begin{matrix}(-3)\cdot7\cdot(-6)+{\color{Red}\cancel{\color{Black}0\cdot3\cdot0}}+8\cdot1\cdot2\\-\[(-3)\cdot3\cdot2+{\color{Red}\cancel{\color{Black}0\cdot1\cdot(-6)}}+{\color{Red}\cancel{\color{Black}8\cdot7\cdot0}}\]\end{matrix}=126+16+18=\boxed{160}[/tex3]

Significado dos Determinantes

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No caso de sistema de equações simultâneas, estamos falando de:

[tex3]\begin{bmatrix}-3&0&8\\4&7&-5\\-6&2&10\\\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}S_1\\S_2\\S_3\end{bmatrix}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\begin{bmatrix}-3&0&8\\4&7&-5\\-6&2&10\\\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}S_1\\S_2\\S_3\end{bmatrix}[/tex3]

Quando aplicamos a multiplicação à direita, teremos:

[tex3]\begin{bmatrix}-3x+0y+8z\\4x+7y-5z\\-6x+2y+10z\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}S_1\\S_2\\S_3\end{bmatrix}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\begin{bmatrix}-3x+0y+8z\\4x+7y-5z\\-6x+2y+10z\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}S_1\\S_2\\S_3\end{bmatrix}[/tex3]

Nisso, podemos dizer que:

[tex3]\cases{\,\,\,-3x+0y+8z=S_1\\~~~~~4x+7y-5z=S_2\\-6x+2y+10z=S_3}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\cases{\,\,\,-3x+0y+8z=S_1\\~~~~~4x+7y-5z=S_2\\-6x+2y+10z=S_3}[/tex3]

}[/tex3]


O cálculo do determinante nos orienta sobre o sistema ser SPD (caso determinante seja diferente de zero) ou que seja SI ou SPI (caso seja igual a zero).