IME / ITA(ITA) Matrizes Tópico resolvido

Aqui deverão ser postadas questões desses vestibulares e de outras instituições militares (EN, CN, EsPCEx etc.).

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jhonim
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(ITA) Matrizes

Mensagem não lida por jhonim »

O número de todos os valores de a\,\in\,[0,2\pi], distintos, para os quais o sistema nas incógnitas x, y e z, dado por:

\begin{cases}-4x+y-6z=cos(\,3a\,)\\ x+2y-5z=sen(\,2a\,)\\6x+3y-4z= -2cos(\,a\,)\end{cases}

é possível e não homogêneo, é igual a:
Resposta

2.
Bom, vamos lá. Eu consegui chegar no resultado final, mas muitas dúvidas ficaram na minha mente. Antes de tudo, vejam como ficará o sistema escalonado:

\begin{cases}0x+9y-26z=cos(\,3a\,)+4sen(2a)\\ 1x+2y-5z=sen(\,2a\,)\\0x+0y-52z= cos(3a)-2cos(\,a\,)-2sen(2a)\end{cases}

E ainda:

-52z=cos(3a)-2cos(\,a\,)-2sen(2a)=(-4)sen^2(a)+(-4)sen(a)-1


Primeira dúvida: Para que um sistema seja considerado homogêneo, basta que os termos independentes sejam todos iguais a zero? Caso a resposta seja SIM, por que não poderiamos simplesmente encontrar os valores que zeram os termos independentes, ou seja, os valores para os quais cos(3a)=0\,\,;sen(2a)=0\,\,;\,\,-2cos(a)=0 ?

Segunda dúvida: Para resolver o exercício, utilizei a última linha da matriz escalonada, sob a condição de que "z" fosse diferente de ZERO:

-52z=cos(3a)-2cos(\,a\,)-2sen(2a)=(-4)sen^2(a)+(-4)sen(a)-1\\\\-52z\neq 0\Leftrightarrow \,\,(-4)sen^2(a)+(-4)sen(a)-1\neq0\\\\sen(a)\neq \,\,\frac{-1}{2}\,\,\rightarrow\,\,a\neq \frac{7\pi}{6}\,\,\,\,\,e\,\,\,\,\,a\neq \frac{11\pi}{6}

Isso significa dizer que o sistema NÃO será homogêneo se, e somente se, esses valores da variável "a" NÃO forem utilizados, OU significa dizer que o sistema será POSSÍVEL e NÃO HOMOGÊNEO SOMENTE SE esses valores de "a" NÃO forem utilizados?

Terceira e última dúvida: Se eu substituir o valor de "a" por um número que zere TODOS OS TERMOS INDEPENDENTES (como, por exemplo, a=\pi/2), o sistema será ou não considerado homogêneo?


Muito obrigado mesmo pela atenção.

Última edição: jhonim (Qui 04 Out, 2012 03:26). Total de 1 vez.


"Eppur si muove" - Galileo Galilei em 1633, depois de ser forçado a renegar a ideia heliocêntrica perante o tribunal da Inquisição.

danjr5
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Re: (ITA) Matrizes

Mensagem não lida por danjr5 »

Olá Jhonim,
boa noite!
Consegui resolver a questão!
Cometeu um equívoco ao escalonar, veja:

Matriz ampliada;

\\ \begin{bmatrix} - 4 & 1 & - 6 & | & \cos (3a) \\ 1 & 2 & - 5 & | & \sin (2a) \\ 6 & 3 & - 4 & | & - 2\cos a \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 2 & - 5 & | & \sin (2a) \\ - 4 & 1 & - 6 & | & \cos (3a) \\ 6 & 3 & - 4 & | & - 2\cos a \end{bmatrix}

Fazendo
[tex3]L_2 \leftarrow 4L_1 + L_2[/tex3]
e
[tex3]L_3 \leftarrow - 6L_1 + L_3[/tex3]

teremos: \begin{bmatrix} 1 & 2 & - 5 & | & \sin (2a) \\ 0 & 9 & - 26 & | & 4 \sin (2a) + \cos (3a) \\ 0 & - 9 & 26 & | & - 6 \sin(2a) - 2\cos a \end{bmatrix}

Façamos agora [tex3]L_3 \leftarrow L_2 + L_3[/tex3]

Por conseguinte,

\begin{bmatrix} 1 & 2 & - 5 & | & \sin (2a) \\ 0 & 9 & - 26 & | & 4 \sin (2a) + \cos (3a) \\ 0 & 0 & 0 & | & - 2 \sin(2a) - 2\cos a  + \cos (3a) \end{bmatrix}

Jhonim,
a partir daqui, com certeza, fica mais fácil concluir o exercício. Saiba o porquê:
- Se \boxed{- 2 \sin(2a) - 2\cos a  + \cos (3a) \neq 0}, então o sistema será impossível, e, isso não nos interessa, mas sim aquele valor igual a zero - Possível.

Daí,

\\ - 2 \sin(2a) - 2\cos a  + \cos (3a) = 0 \\ - 2 \sin(a + a) - 2 \cos a + \cos (2a + a) = 0 \\ - 2(2 \sin a \cdot \cos a) - 2 \cos a + [\cos (2a) \cdot \cos a - \sin (2a) \cdot \sin a] = 0 \\ - 4 \sin a \cdot \cos a - 2 \cos a + \cos(a + a) \cdot \cos a - \sin(a + a) \cdot \sin a = 0 \\ - 4 \sin a \cdot \cos a - 2 \cos a + \cos a (cos^2 a - \sin^2 a) - 2 \sin^2 a \cdot \cos a = 0 \:\:\:\:\: \div(- \cos a \\ 4 \sin a + 2 - \cos^2 a + \sin^2 a + 2\sin^2 a = 0 \\ 4 \sin a + 2 - (1 - \sin^2 a) + 3 \sin^2 a = 0 \\ 4 \sin^2 a + 4 \sin a + 1 = 0 \\ (2 \sin a + 1)^2 = 0 \\ 2 \sin a + 1 = 0 \\\\ \sin a = - \frac{1}{2}

Logo,

\boxed{\boxed{a = \frac{7\pi}{6}}} e \boxed{\boxed{a = \frac{11\pi}{6}}}

Espero ter ajudado!

Daniel.

Última edição: danjr5 (Sex 22 Fev, 2013 21:43). Total de 1 vez.


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habilidade é saber como fazer;
virtude é fazer."
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Re: (ITA) Matrizes

Mensagem não lida por gouy »

danjr5,

"a partir daqui, com certeza, fica mais fácil concluir o exercício. Saiba o porquê:
- Se [tex3]\boxed{- 2 \sin(2a) - 2\cos a + \cos (3a) \neq 0}[/tex3] , então o sistema será impossível, e, isso não nos interessa, mas sim aquele valor igual a zero - Possível."

O determinante da matriz deu zero, então temos SPI ou SI, isso eu entendi. O que eu não entendi foi a imposição para que o sistema não fosse homogêneo. Por que ele iguala a zero a expressão para que seja um SPI? Alguém ajuda, por favor!
Última edição: gouy (Qua 10 Ago, 2022 18:39). Total de 2 vezes.



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Re: (ITA) Matrizes

Mensagem não lida por gouy »

gouy escreveu:
Qua 10 Ago, 2022 17:40
danjr5,

"a partir daqui, com certeza, fica mais fácil concluir o exercício. Saiba o porquê:
- Se [tex3]\boxed{- 2 \sin(2a) - 2\cos a + \cos (3a) \neq 0}[/tex3] , então o sistema será impossível, e, isso não nos interessa, mas sim aquele valor igual a zero - Possível."

O determinante da matriz deu zero, então temos SPI ou SI, isso eu entendi. O que eu não entendi foi a imposição para que o sistema não fosse homogêneo. Por que ele iguala a zero a expressão para que seja um SPI? Alguém ajuda, por favor!
petras ? ajuda pff🙏🥺



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petras
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Re: (ITA) Matrizes

Mensagem não lida por petras »

gouy,
"Por que ele iguala a zero a expressão para que seja um SPI?"
Ele iguala a zero por causa da condição do enunciado que diz: o sistema deve ser possível,
Se fosse diferente de zero teríamos uma sistema 0x+0y+0z diferente de zero o que não é possível e contraria o enunciado.
Última edição: petras (Ter 16 Ago, 2022 08:20). Total de 1 vez.



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Re: (ITA) Matrizes

Mensagem não lida por petras »

gouy,

Outra forma de resolver

[tex3]\mathtt{\begin{cases}-4x+y-6z=cos(\,3a\,)\\ x+2y-5z=sen(\,2a\,)\\6x+3y-4z= -2cos(\,a\,)\end{cases} \\
L2 \Leftrightarrow L1;\\
\begin{cases}x+2y-5z=sen(\,2a\,)\\-4x+y-6z=cos(\,3a\,) \\6x+3y-4z= -2cos(\,a\,)\end{cases}\\
4L2+L1;-6L1+L3\\
\begin{cases}x+2y-5z=sen(\,2a\,)\\9y-26z=cos(\,3a\,)+4sen(2a) \\-9y+26z=6sen(2a)= -2cos(\,a\,)\end{cases}\\
}[/tex3]

Veja que a s L2 e L3 são a mesma igualdade e portanto para o sistema ser possível vamos igualar as duas
[tex3]\mathtt{
cos(3a)+4sen(2a)=-( 2 cos(a)-(6sen(2a)) ⇔ cos(3a)- 2 sen (2a)- 2 cos(a)= 0⇔ \\
cos^3a- 3 sen^2(a)cos(a)- 4 sen(a) cos(a)- 2 cos(a)=0⇔\\
cos(a)(cos^2(a)- 3 sen^2(a)- 4 sen( a)- 2)= 0⇔ \\
cos (a)( -4 sen^2 (a)- 4 sen (a)- 1) =0⇔\\
cos (a)(2 sen (a)- 1)^2=0 ⇔ cos( a )=0 ~ou~ sen (a)=-\frac{1}{2}⇔\\
a =\frac{\pi}{2}~ ou ~a =\frac{7 \pi}{6}~ou~a=\frac{11 \pi}{6}
}[/tex3]
Além disso se o sistema é homogêneo, os termos independentes deverão ser iguais a 0, portanto esses valores não poderão ser solução do sistema

[tex3]\mathtt{
cos (3a)= 0\\
sen (2a)= 0\\
-2 cos (a)= 0\\
\implies a = \frac{\pi}{2}~ou~a=\frac{3\pi}{2}\\

\therefore \boxed{a = \frac{7\pi}{6}~ou~a= \frac{11 \pi}{6}} \color{green}\checkmark
}

[/tex3]

(Solução:etapa-adaptada)



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Re: (ITA) Matrizes

Mensagem não lida por gouy »

petras escreveu:
Ter 16 Ago, 2022 08:20
gouy,
"Por que ele iguala a zero a expressão para que seja um SPI?"
Ele iguala a zero por causa da condição do enunciado que diz: o sistema deve ser possível,
Se fosse diferente de zero teríamos uma sistema 0x+0y+0z diferente de zero o que não é possível e contraria o enunciado.
Entendiii, muito obrigada!!



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Re: (ITA) Matrizes

Mensagem não lida por gouy »

gouy escreveu:
Qua 17 Ago, 2022 06:27
se o sistema é homogêneo
Isso eu já não entendi.. O enunciado fala que o sistema é não homogêneo😥



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petras
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Re: (ITA) Matrizes

Mensagem não lida por petras »

gouy,

Quando se verifica os valores para que o sistema seja homogêneo é um recurso para eliminar esses valores na resposta final caso apareça algum..Foi o que aconteceu com [tex3]
\frac{\pi}{2}[/tex3]
Se eu sei quem é homogêneo, por consequência quem não pertence a esses valores poderá ser não homogêneo

Última edição: petras (Qua 17 Ago, 2022 08:12). Total de 1 vez.



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