Ensino MédioTrigonometria

Problemas sobre assuntos estudados no Ensino Médio devem ser postados aqui. Se o problema for de Vestibular, poste-o no fórum Pré-Vestibular

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Hanon
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Out 2021 24 19:17

Trigonometria

Mensagem não lida por Hanon »

Computar a soma a seguir:
[tex3]E=\tg^{1024}\(\frac{\pi}{9}\)+\tg^{1024}\(\frac{2\pi}{9}\)+\tg^{1024}\(\frac{4\pi}{9}\)[/tex3]





NÃO TENHO GABARITO.

Última edição: Hanon (Dom 24 Out, 2021 19:17). Total de 1 vez.



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AnthonyC
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Out 2021 25 03:22

Re: Trigonometria

Mensagem não lida por AnthonyC »

Segundo WolframAlpha, é aproximadamente [tex3]5.88\cdot 10^{771}[/tex3] . Dado o tamanho da resposta, não acho que deva ter alguma forma simplificada de escrever.



[tex3]\color{YellowOrange}\textbf{Não importa o quanto se esforce ou evolua, você sempre estará abaixo do Sol}[/tex3]
[tex3]\textbf{Escanor}[/tex3]

Movido de IME / ITA para Ensino Médio em Seg 25 Out, 2021 14:21 por ALDRIN

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Tassandro
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Out 2021 29 07:41

Re: Trigonometria

Mensagem não lida por Tassandro »

Hanon,

Observe que [tex3]\tg^2(3\cdot20\degree)=\tg^2(3\cdot40\degree)=\tg^2(3\cdot80\degree)=3[/tex3]

Sendo assim, da equação

[tex3]\tg3α=\frac{3\tgα-\tg^3α}{1-3\tg^2α}[/tex3]

Podemos elevar ambos os membros ao quadrado, e fazendo [tex3]\tg^2α=3[/tex3] , teremos a equação:

[tex3]\tg^6α-33\tg^4α+27\tg^2α-3=0[/tex3]

Cujas raízes são as tangentes mencionadas inicialmente. Fazendo [tex3]\tg^2α=y[/tex3] , obtemos
[tex3]y^3-33y^2+27x-3=0[/tex3]
Por Somas de Newton, estamos procurando o valor de [tex3]S_{512}[/tex3]

Agora, de fato, não vejo uma maneira inteligente de se calcular isso que não seja na força bruta.

Última edição: Tassandro (Sex 29 Out, 2021 07:41). Total de 1 vez.


Dias de luta, dias de glória.

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