Ensino MédioTrigonometria Tópico resolvido

Problemas sobre assuntos estudados no Ensino Médio devem ser postados aqui. Se o problema for de Vestibular, poste-o no fórum Pré-Vestibular

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RAFAELMESMO
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Trigonometria

Mensagem não lida por RAFAELMESMO »

Em um triângulo ABC, retângulo em C, temos:

6.Cos^3A = Sen A + Sen B/ tg A + tg B

Calcule tg A
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2




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Daleth
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Re: Trigonometria

Mensagem não lida por Daleth »

[tex3]6.cos^3A=\frac{senA+senB}{tgA+tgB}[/tex3]

Se o triângulo é retângulo em C, então A e B são complementares, o que implica [tex3]TgB=\frac{1}{TgA}[/tex3] , assim:

[tex3]6.cos^3A=\frac{senA+senB}{tgA+\frac{1}{tgA}}[/tex3]
[tex3]6.cos^3A=\frac{senA+senB}{\frac{tg^2A+1}{tgA}}[/tex3]
[tex3]6.cos^3A.\frac{tg^2A+1}{tgA}=senA+senB[/tex3]

Lembrar pela relação fundamental da trigonometria que [tex3]sen^2A+cos^2A=1[/tex3] , dividindo ambos os lados por [tex3]cos^2A[/tex3] , temos:

[tex3]\frac{sen^2A}{cos^2A}+\frac{cos^2A}{cos^2A}=\frac{1}{cos^2A}[/tex3]
[tex3]tg^2A+1=\frac{1}{cos^2A}[/tex3]

Agora substituindo:

[tex3]6.cos^3A.\frac{tg^2A+1}{tgA}=senA+senB[/tex3]
[tex3]6.cos^3A.\frac{\frac{1}{cos^2a}}{tgA}=senA+senB[/tex3]
[tex3]6.cos^3A.\frac{1}{cos^2A.tgA}=senA+senB[/tex3]
[tex3]6.cosA.\frac{1}{tgA}=senA+senB[/tex3]

[tex3]\frac{1}{tgA}=\frac{senA+senB}{6cosA}[/tex3]
[tex3]\frac{1}{tgA}=\frac{senA}{6cosA}+\frac{senB}{6cosA}[/tex3]

Lembrando que A e B são complementares, isso implica que [tex3]senB=cosA[/tex3] , logo:
[tex3]\frac{1}{tgA}=\frac{tgA}{6}+\frac{1}{6}[/tex3]
[tex3]\frac{1}{tgA}=\frac{tgA+1}{6}[/tex3]
[tex3]6=tgA.(tgA+1)[/tex3]
[tex3]6=tg^2A+tgA[/tex3]
[tex3]tg^2A+tgA-6=0[/tex3]

Fatorando:
[tex3](tgA+3).(tgA-2)=0[/tex3]
[tex3]tgA=-3[/tex3] ou [tex3]tgA=2[/tex3].
Mas como A é um ângulo menor que 90º, então sua tangente não pode ser negativa, logo apenas [tex3]tgA=2[/tex3] satisfaz a questão



Os melhores momentos dá vida acontecem no inesperado, no ocasional, nos momentos em que não esperamos que aconteçam.

Paulo Cuba

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RAFAELMESMO
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Re: Trigonometria

Mensagem não lida por RAFAELMESMO »

Muito obrigado, irmão!




Movido de IME / ITA para Ensino Médio em Seg 18 Out, 2021 13:46 por ALDRIN

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