IME / ITA ⇒ IME 2019) Trigonometria Tópico resolvido

[careca]

O número de soluções reais da equação abaixo é:

[tex3]cos^{2018}(x) = 2 -2^{(x/\pi)^2 }[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]cos^{2018}(x) = 2 -2^{(x/\pi)^2 }[/tex3]

(A) 0
(B) 1
(C) 2
(D) 3
(E) 4

Resposta

---

Gabarito = D

[rcompany]

[tex3]\text{Notemos primeiro que 0 é solução:}\cos^{2018}(0)=1 \text{ e }2-2^{(\frac{0}{\pi})^2}=2-1=1\\[24pt]
\text{Seja }f(x)=2-2^{(\frac{x}{\pi})^2},\ g(x)=(\cos x)^{2018}\text{ e }\phi(x)=f(x)-g(x)\\\text{Notemos também que }\forall x \in\mathbb{R},\phi(x)=\phi(-x)\\[24pt]
\left.\begin{array}{r}\forall x \in\mathbb{R},0\leqslant \cos^{2018}(x)\leqslant 1\\
|x|>\pi\implies 2-2^{(\frac{x}{\pi})^2}\end{array}\right\}\implies\cos^{2018}(x)\neq 2-2^{(\frac{x}{\pi})^2}\text{ para }x<-\pi \text{ ou }x>\pi\\[24pt]

\phi \text{ contínua em }[\frac{\pi}{2};\pi] \text{ e }\phi(\frac{\pi}{2})=2\!\!-\!\!\dfrac{1}{\sqrt[4]{2}}\text{ e }\phi(\pi)=-1\implies \exists x\!\in\![\frac{\pi}{2};\pi]/\phi(x)=0\implies \phi(-x)=0,-\!x\!\in\![-\pi;\!-\frac{\pi}{2}]\\
\text{ e então existe um número par, e superior ou igual a 2, de soluções em }[-\pi;\!-\frac{\pi}{2}]\cup [\frac{\pi}{2};\pi]\\
\text{ e já que 0 é solução, o número de soluções é no mínimo igual a }1+2^k, k\in\mathbb{N}^*\text{, o que elimina as respostas seguintes:}\\
\text{- 0 soluções}\\
\text{- 1 soluções}\\
\text{- 2 soluções}\\
\text{- 4 soluções}\\
\text{ e nos deixa com a resposta "3 soluções"}
[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\text{Notemos primeiro que 0 é solução:}\cos^{2018}(0)=1 \text{ e }2-2^{(\frac{0}{\pi})^2}=2-1=1\\[24pt]
\text{Seja }f(x)=2-2^{(\frac{x}{\pi})^2},\ g(x)=(\cos x)^{2018}\text{ e }\phi(x)=f(x)-g(x)\\\text{Notemos também que }\forall x \in\mathbb{R},\phi(x)=\phi(-x)\\[24pt]
\left.\begin{array}{r}\forall x \in\mathbb{R},0\leqslant \cos^{2018}(x)\leqslant 1\\
|x|>\pi\implies 2-2^{(\frac{x}{\pi})^2}\end{array}\right\}\implies\cos^{2018}(x)\neq 2-2^{(\frac{x}{\pi})^2}\text{ para }x<-\pi \text{ ou }x>\pi\\[24pt]

\phi \text{ contínua em }[\frac{\pi}{2};\pi] \text{ e }\phi(\frac{\pi}{2})=2\!\!-\!\!\dfrac{1}{\sqrt[4]{2}}\text{ e }\phi(\pi)=-1\implies \exists x\!\in\![\frac{\pi}{2};\pi]/\phi(x)=0\implies \phi(-x)=0,-\!x\!\in\![-\pi;\!-\frac{\pi}{2}]\\
\text{ e então existe um número par, e superior ou igual a 2, de soluções em }[-\pi;\!-\frac{\pi}{2}]\cup [\frac{\pi}{2};\pi]\\
\text{ e já que 0 é solução, o número de soluções é no mínimo igual a }1+2^k, k\in\mathbb{N}^*\text{, o que elimina as respostas seguintes:}\\
\text{- 0 soluções}\\
\text{- 1 soluções}\\
\text{- 2 soluções}\\
\text{- 4 soluções}\\
\text{ e nos deixa com a resposta "3 soluções"}
[/tex3]