Qual o número de polígonos regulares que possuem um número de lados maior do que 12, que tem perímetro igual a 176400 e possuem medida de aresta inteira?
(A) 135
(B) 127
(C) 145
(D) 210
(E) 215
Ensino Médio ⇒ Polígonos regulares Tópico resolvido
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BartdGusmão 
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Mar 2021
06
14:11
Polígonos regulares
Neto de Ícaro, sobrinho de Bartolomeu de Gusmão, herdeiro de Santos Dumont e do sonho de voar 
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NathanMoreira 
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Mar 2021
06
20:03
Re: Polígonos regulares
BartdGusmão ,
Questão bem interessante. Eu pensei da seguinte maneira:
número de lados = {13,14, 15, ...}
Perímetro = [tex3](\underbrace{\text{numero de lados}}_{n}).(\underbrace{\text{medida da aresta}}_{m})[/tex3]
Como condição imposta pelo enunciado, temos que [tex3]n>12[/tex3] e [tex3]m[/tex3] é inteiro.
Substituindo o perímetro pedido e alguns valores de [tex3]n[/tex3] que respeitem a condição [tex3]n>12[/tex3] na fórmulinha que criamos:
[tex3]\text{para } n = 13[/tex3]
[tex3]176400=13.m[/tex3]
[tex3]m=13.569,...[/tex3] (não convém, visto que esse valor não respeita a condição de que [tex3]m[/tex3] é inteiro)
[tex3]\text{para } n = 14[/tex3]
[tex3]176400=14.m[/tex3]
[tex3]m=12600[/tex3] (convém, visto que é inteiro)
[tex3]\therefore n \text{ precisa ser divisor de 176400}[/tex3]
Portanto, a pergunta é, na verdade, ''qual o número de divisores maiores que 12 do número 176400?''
Vamos então calcular, primeiramente, o número de divisores positivos de 176400, para isso, basta fazer sua fatoração em primos e calcular o produto dos expoentes dos primos adicionados de 1.
[tex3]176400=2^{{\color{red}4}}.3^{{\color{red}2}}.5^{{\color{red}2}}.7^{{\color{red}2}}[/tex3]
[tex3](4+1).(2+1).(2+1).(2+1)[/tex3]
[tex3]=5.3.3.3[/tex3]
[tex3]=135[/tex3]
Portanto, tirando os divisores menores do que 13, que são {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12}, formando 11 divisores:
[tex3]135-11=124[/tex3]
E... não tem alternativa. Fica meu raciocínio então para ajudar.
Questão bem interessante. Eu pensei da seguinte maneira:
número de lados = {13,14, 15, ...}
Perímetro = [tex3](\underbrace{\text{numero de lados}}_{n}).(\underbrace{\text{medida da aresta}}_{m})[/tex3]
Como condição imposta pelo enunciado, temos que [tex3]n>12[/tex3] e [tex3]m[/tex3] é inteiro.
Substituindo o perímetro pedido e alguns valores de [tex3]n[/tex3] que respeitem a condição [tex3]n>12[/tex3] na fórmulinha que criamos:
[tex3]\text{para } n = 13[/tex3]
[tex3]176400=13.m[/tex3]
[tex3]m=13.569,...[/tex3] (não convém, visto que esse valor não respeita a condição de que [tex3]m[/tex3] é inteiro)
[tex3]\text{para } n = 14[/tex3]
[tex3]176400=14.m[/tex3]
[tex3]m=12600[/tex3] (convém, visto que é inteiro)
[tex3]\therefore n \text{ precisa ser divisor de 176400}[/tex3]
Portanto, a pergunta é, na verdade, ''qual o número de divisores maiores que 12 do número 176400?''
Vamos então calcular, primeiramente, o número de divisores positivos de 176400, para isso, basta fazer sua fatoração em primos e calcular o produto dos expoentes dos primos adicionados de 1.
[tex3]176400=2^{{\color{red}4}}.3^{{\color{red}2}}.5^{{\color{red}2}}.7^{{\color{red}2}}[/tex3]
[tex3](4+1).(2+1).(2+1).(2+1)[/tex3]
[tex3]=5.3.3.3[/tex3]
[tex3]=135[/tex3]
Portanto, tirando os divisores menores do que 13, que são {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12}, formando 11 divisores:
[tex3]135-11=124[/tex3]
E... não tem alternativa. Fica meu raciocínio então para ajudar.
Última edição: NathanMoreira (Sáb 06 Mar, 2021 20:29). Total de 1 vez.
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BartdGusmão
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Mar 2021
07
23:13
Re: Polígonos regulares
Entendi seu raciocínio e marquei como solução, mesmo não tendo o resultado nas alternativas, porque tirou minha dúvida sobre como resolver uma questão desse tipo. Creio que seja essa a resposta, não vi nenhum erro no desenvolvimento, terei o gabarito dia 09 e volto aqui pra dar um retorno! Obrigado!NathanMoreira escreveu: ↑Sáb 06 Mar, 2021 20:03BartdGusmão ,
Questão bem interessante. Eu pensei da seguinte maneira:
número de lados = {13,14, 15, ...}
Perímetro = [tex3](\underbrace{\text{numero de lados}}_{n}).(\underbrace{\text{medida da aresta}}_{m})[/tex3]
Como condição imposta pelo enunciado, temos que [tex3]n>12[/tex3] e [tex3]m[/tex3] é inteiro.
Substituindo o perímetro pedido e alguns valores de [tex3]n[/tex3] que respeitem a condição [tex3]n>12[/tex3] na fórmulinha que criamos:
[tex3]\text{para } n = 13[/tex3]
[tex3]176400=13.m[/tex3]
[tex3]m=13.569,...[/tex3] (não convém, visto que esse valor não respeita a condição de que [tex3]m[/tex3] é inteiro)
[tex3]\text{para } n = 14[/tex3]
[tex3]176400=14.m[/tex3]
[tex3]m=12600[/tex3] (convém, visto que é inteiro)
[tex3]\therefore n \text{ precisa ser divisor de 176400}[/tex3]
Portanto, a pergunta é, na verdade, ''qual o número de divisores maiores que 12 do número 176400?''
Vamos então calcular, primeiramente, o número de divisores positivos de 176400, para isso, basta fazer sua fatoração em primos e calcular o produto dos expoentes dos primos adicionados de 1.
[tex3]176400=2^{{\color{red}4}}.3^{{\color{red}2}}.5^{{\color{red}2}}.7^{{\color{red}2}}[/tex3]
[tex3](4+1).(2+1).(2+1).(2+1)[/tex3]
[tex3]=5.3.3.3[/tex3]
[tex3]=135[/tex3]
Portanto, tirando os divisores menores do que 13, que são {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12}, formando 11 divisores:
[tex3]135-11=124[/tex3]
E... não tem alternativa. Fica meu raciocínio então para ajudar.
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NathanMoreira
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Mar 2021
09
20:49
Re: Polígonos regulares
BartdGusmão , boa noite. O gabarito saiu? Fiquei curioso quanto a essa questão. Se puder, coloque a resolução aqui (caso haja alguma junto do gabarito).
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NathanMoreira
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Mar 2021
13
10:43
Re: Polígonos regulares
BartdGusmão , consegui achar o que eu errei na minha resolução. Quando eu acho 135 divisores e retiro os menores do que 12, eu acabei tirando 1 e 2 como quantidade de lados que atendem o enunciado, mas não atendem, pois não existem polígonos de 1 e 2 lados. Por isso, essa parte ficaria:
... {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12}, que são 9 divisores.
[tex3]135-9={\color{red}\boxed{126}}[/tex3]
... {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12}, que são 9 divisores.
[tex3]135-9={\color{red}\boxed{126}}[/tex3]
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