IME / ITA(AFA 1996) Geometria Analítica Tópico resolvido

Aqui deverão ser postadas questões desses vestibulares e de outras instituições militares (EN, CN, EsPCEx etc.).

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futuromilitar
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Mai 2016 22 15:33

(AFA 1996) Geometria Analítica

Mensagem não lida por futuromilitar »

Sejam os triângulos ABC e CDE. O triângulo ABC está inscrito em uma circunferência de raio [tex3]\sqrt{3}[/tex3] . [tex3]\overline{CA}=\sqrt{3}[/tex3] e ainda AB é um diâmetro da mesma. Os vértices D e E do triângulo CDE são a intersecção do prolongamento dos lados CA e CB com a reta paralela a AB e tangente a mesma circunferência. O valor de DE é:

a) [tex3]9[/tex3]
b) [tex3]5\sqrt{3}[/tex3]
c) [tex3]6+\sqrt{3}[/tex3]
d) [tex3]2\(2+\sqrt{3}\)[/tex3]

Última edição: MateusQqMD (Seg 22 Fev, 2021 08:00). Total de 4 vezes.
Razão: tex --> tex3


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LucasPinafi
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Mai 2016 22 22:51

Re: (AFA 1996) Geometria Analítica

Mensagem não lida por LucasPinafi »

Uma maneira analítica de resolver tal exercício é: seja a circunferência [tex3]x^2+y^2 = 3[/tex3] . Tomemo o segmento AB como sendo o segmento que liga os pontos [tex3](-\sqrt 3, 0)[/tex3] e [tex3](\sqrt 3, 0)[/tex3] . O triângulo ABC é retângulo, pois AB é o diâmetro. Assim, pode-se calcular o valor do segmento de reta BC a partir da relação de Pitágoras: [tex3](AB)^2 = (AC)^2 + (BC)^2 \therefore BC = 3[/tex3] . Assim, pode-se calcular facilmente os ângulos internos do triângulo: [tex3]\tan (\angle BAC) = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt 3[/tex3] e [tex3]\tan (\angle CBA) = \frac {\sqrt 3} 3[/tex3] . As equações das retas que passam por A e C e por B e C são, respectivamente, [tex3]y-0= \sqrt 3 (x+ \sqrt 3) \therefore y = \sqrt 3 x + 3[/tex3] e [tex3]y=-\frac{\sqrt 3} 3 (x - \sqrt 3 ) = -\frac{\sqrt 3} 3 x+ 1[/tex3] . A reta DE deve ser a reta [tex3]y=-\sqrt 3[/tex3] . Portanto, achando as intersecções,
* Do prolongamento de CA: [tex3]\sqrt 3 x + 3= - \sqrt 3 \therefore x = -\frac{3+\sqrt 3}{\sqrt 3}= -(\sqrt 3 + 1)[/tex3]
* Do prolongamento de CE: [tex3]-\frac{\sqrt 3 } 3x +1= - \sqrt 3 \therefore x = \frac{3+3\sqrt 3}{\sqrt 3}= \sqrt 3 +3[/tex3]
Logo, DE = [tex3]\sqrt 3 + 3 + \sqrt 3 + 1 = 2 ( 2 + \sqrt 3 )[/tex3]

Última edição: MateusQqMD (Seg 22 Fev, 2021 08:01). Total de 3 vezes.
Razão: tex --> tex3


Ser ̶m̶e̶l̶h̶o̶r̶ pior a cada dia

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ALANSILVA
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Fev 2021 21 20:02

Re: (AFA 1996) Geometria Analítica

Mensagem não lida por ALANSILVA »

Olá Boa noite,
Tem como resolver por geometria plana?


No meio da dificuldade se encontra a oportunidade (Albert Einstein)

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petras
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Re: (AFA 1996) Geometria Analítica

Mensagem não lida por petras »

futuromilitar,ALANSILVA,

[tex3]\mathtt {\Delta{ABC} : BC^2=AB^2-AC^2=(2\sqrt{3})^2-\sqrt{3}^2=3\\
\rightarrow a.h=b.c\rightarrow h=\frac{3\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}=\frac{3}{2}=CJ\\
\Delta{ABC}\sim\Delta{CDE}:\frac{AB}{DE}=\frac{CJ}{CJ+OG}\rightarrow \frac{2\sqrt{3}}{DE}=\frac{\frac{3}{2}}{\frac{3}{2}+\sqrt{3}}\rightarrow \\
\frac{3DE}{2}=3\sqrt{3}+6\rightarrow 3DE=6\sqrt{3}+12\therefore \boxed{\color{red}DE = 2\sqrt{3}+4=2(\sqrt{3}+2)}



}[/tex3]
Anexos
ppp.jpg
ppp.jpg (17.77 KiB) Exibido 233 vezes
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ALANSILVA
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Re: (AFA 1996) Geometria Analítica

Mensagem não lida por ALANSILVA »

[tex3]OG=\sqrt{3}[/tex3] É raio, ou estou equivocado?


No meio da dificuldade se encontra a oportunidade (Albert Einstein)

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petras
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Re: (AFA 1996) Geometria Analítica

Mensagem não lida por petras »

ALANSILVA,

Conforme enunciado a circunferência tem raio [tex3]\sqrt{3}[/tex3]



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ALANSILVA
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Re: (AFA 1996) Geometria Analítica

Mensagem não lida por ALANSILVA »

petras,
Minha dúvida está nesse [tex3]OG= \frac{3}{2}+\sqrt{3}[/tex3] . Não entendi isso na semelhança.


No meio da dificuldade se encontra a oportunidade (Albert Einstein)

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petras
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Re: (AFA 1996) Geometria Analítica

Mensagem não lida por petras »

ALANSILVA,

A notação do triângulo estava errada mas já corrigi.

CJ é altura do triângulo ABC portanto precisamos da altura do triângulo CDE que será
a altura do triângulo ABC + raio da circunferência=[tex3]\frac{3}{2}+\sqrt{3}[/tex3]




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