IME / ITA(IME - 1968) Binômio de Newton

Aqui deverão ser postadas questões desses vestibulares e de outras instituições militares (EN, CN, EsPCEx etc.).

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HEITORSONIC
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(IME - 1968) Binômio de Newton

Mensagem não lida por HEITORSONIC »

Seja n um número inteiro positivo, tal que os coeficientes dos quinto,sexto e sétimo termos, em relação a x ,do desenvolvimento de

[tex3]\(\frac{log_n(\sqrt{2^n})}{log_e(n).log_n(\sqrt{2^e)}}+x\)^n[/tex3]

segundo as potencias decrescentes de x,estão em progressão aritmetica.Determinar n.

Última edição: MateusQqMD (Ter 07 Jul, 2020 13:23). Total de 4 vezes.
Razão: tex --> tex3



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Agash
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Nov 2011 17 21:01

Re: (IME - 1968) Binômio de Newton

Mensagem não lida por Agash »

Mostra o que vc tentou fazer = ]




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Tassandro
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Jul 2020 07 11:58

Re: (IME - 1968) Binômio de Newton

Mensagem não lida por Tassandro »

HEITORSONIC,
Vamos dar uma simplificada no primeiro termo
[tex3]\frac{\log_n(\sqrt2)^n}{\log_n(\sqrt2)^e}=\frac ne,\log_en=\frac{1}{log_n e}[/tex3]
Logo, a expressão inicial equivale a
[tex3]\(\frac{n\log_n e}{e}+x\)^n[/tex3]
Como ele está falando do quinto, sexto e sétimo termo, podemos afirmar que [tex3]n\geq6[/tex3]
Agora, usando o binômio de Newton e as informações do enunciado, podemos fazer que
[tex3]2\binom{n}{5}\cdot\(\frac{n\log_ne}{e}\)^5=\binom{n}{4}\cdot\(\frac{n\log_ne}{e}\)^4+\binom{n}{6}\cdot\(\frac{n\log_ne}{e}\)^6[/tex3]
Simplificando essa monstruosidade, vem que
[tex3]2n(n-4)\log_ne=1+\frac{n^2(n-4)(n-5)\log_ne}{3e}[/tex3]
Mais ainda
[tex3]n^2(n-4)(n-5)\log_ne-6n(n-4)e\log_ne+3e=0[/tex3]
Ainda não pensei em como resolver essa maravilha, mas se alguém puder completar a partir daí seria show de bola!


A criatividade é a inteligência se divertindo.
Albert Einstein.

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Zhadnyy
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Re: (IME - 1968) Binômio de Newton

Mensagem não lida por Zhadnyy »

Eu achei essa questão no Rufino VOL3 mas não encontrei ela no livro do Sérgio Lima Neto (compilado das provas de Matemática do IME).
Não sei se a questão postada veio do livro do Rufino (lançou em 2010): se for, não tenho certeza quanto aos expoentes nos 2. No livro não dá para identificar se está dentro ou fora da raíz...

Além disso, enquanto pesquisava, vi as outras questões do vestibular dessa época. O Cálculo era bruto :evil:

Eu acho que na prova, deixaria em função de uma variável (ex.: e^x = n)

Última edição: Zhadnyy (Ter 15 Set, 2020 22:23). Total de 2 vezes.



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