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M e N são matrizes distintas nxn satisfazendo [tex3]M^3=N^3[/tex3] e [tex3]M^2N=N^2M[/tex3] . Prove que [tex3]M^2+N^2[/tex3] não é inversível.
OBS: Use apenas matrizes, sem determinantes.

Mensagem não lidapor **AnthonyC** » 04 Ago 2020, 02:10 · Mensagem não lida por **AnthonyC** » 04 Ago 2020, 02:10

Sabemos que [tex3]M\neq N[/tex3] , [tex3]\color{RED}M^3-N^3=0[/tex3] e [tex3]\color{teal}N^2M-M^2N=0[/tex3]
[tex3]M^2+N^2[/tex3]
[tex3](M^2+N^2)(M-N)[/tex3]
[tex3](M^2+N^2)(M-N)={\color{RED}M^3}+{\color{teal}N^2M}{\color{teal}-M^2N}{\color{RED}-N^3}[/tex3]
[tex3](M^2+N^2)(M-N)=\overline0[/tex3]
Produto igual a matriz nula implica um dos termos igual a matriz nula. Como [tex3]M\neq N\implies M-N\neq \overline0[/tex3] . Então:
[tex3]M^2+N^2=\overline0[/tex3]
Assim, esses dois somados resultam na matriz nula. Sabemos que [tex3]X\cdot\overline 0=\overline 0\,\,\,\,\,, \forall \,\,X[/tex3] , então [tex3]X\cdot(M^2+N^2)=\overline 0\,\,\,\,,\,~~ \forall \,\,X[/tex3] , não existe nenhuma matriz, tal que [tex3](M^2+N^2)\cdot A=I[/tex3] . Como uma matriz só é inversível se tal matriz [tex3]A[/tex3] existe, então podemos concluir que [tex3]M^2+N^2[/tex3] não é inversível.

Outra forma de afirmar isso é que se uma matriz possui determinante nulo, então ela não possui inversa. A matriz nula obviamente possui determinante nulo. Só não falei isso antes por que você pediu uma explicação sem determinantes.

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