IME / ITA ⇒ AFA-Números Complexos Tópico resolvido

[ASPIRADEDEU]

Sobre as raízes da equação ix2 – x + 2i = 0, onde i é a unidade imaginária, podemos afirmar que:
a) a soma é 1.
b) o produto e 2i.
c) a soma dos inversos é [tex3]\frac{-i}{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{-i}{2}[/tex3]

.
d) são complexos conjugados.

Resposta

---

gab: C

[Farinheiro]

tome x=a+bi; [tex3]a,b \in \mathbb{R}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a,b \in \mathbb{R}[/tex3]

, temos:

[tex3]i(a+bi)^2-a-bi+2i=0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]i(a+bi)^2-a-bi+2i=0[/tex3]

[tex3]\rightarrow i(a^2-b^2+2abi)-a-bi+2i=0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\rightarrow i(a^2-b^2+2abi)-a-bi+2i=0[/tex3]

[tex3]\rightarrow (-2ab-a)+i(a^2-b^2-b+2)=0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\rightarrow (-2ab-a)+i(a^2-b^2-b+2)=0[/tex3]

[tex3]\rightarrow (-2ab-a)=0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\rightarrow (-2ab-a)=0[/tex3]

(1)
[tex3]\rightarrow (a^2-b^2-b+2)=0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\rightarrow (a^2-b^2-b+2)=0[/tex3]

(2)

Em (1), há dois casos, se a=0:

[tex3]-b^2-b+2=0[/tex3]

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[tex3]-b^2-b+2=0[/tex3]

, resolvendo a eq do 2°grau [tex3]\rightarrow b=-2i\space ou\space i[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\rightarrow b=-2i\space ou\space i[/tex3]

;

Caso a!=0:

[tex3]-2b-1=0 \rightarrow b=-\frac{1}{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]-2b-1=0 \rightarrow b=-\frac{1}{2}[/tex3]

[tex3]\rightarrow a^2-(-\frac{1}{2})^2-(-\frac{1}{2})+2=0 \rightarrow a^2=-(\frac{9}{4})[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\rightarrow a^2-(-\frac{1}{2})^2-(-\frac{1}{2})+2=0 \rightarrow a^2=-(\frac{9}{4})[/tex3]

, como queríamos, absurdo!

[tex3]\frac{1}{i}-\frac{1}{2i}=\frac{1}{2i}=-\frac{i}{2}[/tex3]

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[tex3]\frac{1}{i}-\frac{1}{2i}=\frac{1}{2i}=-\frac{i}{2}[/tex3]

.

[ASPIRADEDEU]

Em (1), há dois casos, se a=0:

[tex3]-b^2-b+2=0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]-b^2-b+2=0[/tex3]

, resolvendo a eq do 2°grau [tex3]\rightarrow b=-2i\space ou\space i[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\rightarrow b=-2i\space ou\space i[/tex3]

;

Caso a!=0:

[tex3]-2b-1=0 \rightarrow b=-\frac{1}{2}[/tex3]

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[tex3]-2b-1=0 \rightarrow b=-\frac{1}{2}[/tex3]

[tex3]\rightarrow a^2-(-\frac{1}{2})^2-(-\frac{1}{2})+2=0 \rightarrow a^2=-(\frac{9}{4})[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\rightarrow a^2-(-\frac{1}{2})^2-(-\frac{1}{2})+2=0 \rightarrow a^2=-(\frac{9}{4})[/tex3]

, como queríamos, absurdo!

[tex3]\frac{1}{i}-\frac{1}{2i}=\frac{1}{2i}=-\frac{i}{2}[/tex3]

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[tex3]\frac{1}{i}-\frac{1}{2i}=\frac{1}{2i}=-\frac{i}{2}[/tex3]

.

Não conseguir entender essa parte

[Farinheiro]

Não conseguir entender essa parte

Nas minhas soluções, normalmente, eu não sei quais passos pular, mas segue aqui a solução mais detalhada.

Tome x=a+bi; [tex3]a,b \in \mathbb{R}[/tex3]

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[tex3]a,b \in \mathbb{R}[/tex3]

, temos:

[tex3]i(a+bi)^2-a-bi+2i=0[/tex3]

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[tex3]i(a+bi)^2-a-bi+2i=0[/tex3]

[tex3]\rightarrow i(a^2-b^2+2abi)-a-bi+2i=0[/tex3]

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[tex3]\rightarrow i(a^2-b^2+2abi)-a-bi+2i=0[/tex3]

[tex3]\rightarrow (-2ab-a)+i(a^2-b^2-b+2)=0[/tex3]

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[tex3]\rightarrow (-2ab-a)+i(a^2-b^2-b+2)=0[/tex3]

[tex3]\rightarrow (-2ab-a)=0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\rightarrow (-2ab-a)=0[/tex3]

(1)
[tex3]\rightarrow (a^2-b^2-b+2)=0[/tex3]

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[tex3]\rightarrow (a^2-b^2-b+2)=0[/tex3]

(2)

Em (1)

[tex3]\rightarrow a(-2b-1)=0,\space logo,\space a=0\space ou\space b=-\frac{1}{2}[/tex3]

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[tex3]\rightarrow a(-2b-1)=0,\space logo,\space a=0\space ou\space b=-\frac{1}{2}[/tex3]

Se [tex3]a=0[/tex3]

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[tex3]a=0[/tex3]

:

Em (2)

[tex3]-b^2-b+2=0[/tex3]

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[tex3]-b^2-b+2=0[/tex3]

, resolvendo a eq do 2°grau [tex3]\rightarrow b=-2i\space ou\space i[/tex3]

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[tex3]\rightarrow b=-2i\space ou\space i[/tex3]

Note que já encontramos as duas soluções [tex3]x_1=i,\space x_2=-2i[/tex3]

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[tex3]x_1=i,\space x_2=-2i[/tex3]

.Desse modo, o próximo caso não deve gerar soluções.

Se [tex3]a\neq 0[/tex3]

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[tex3]a\neq 0[/tex3]

:

[tex3]\rightarrow b=-\frac{1}{2}[/tex3]

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[tex3]\rightarrow b=-\frac{1}{2}[/tex3]

Em (2)

[tex3]\rightarrow a^2-(-\frac{1}{2})^2-(-\frac{1}{2})+2=0 \rightarrow a^2=-(\frac{9}{4})[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\rightarrow a^2-(-\frac{1}{2})^2-(-\frac{1}{2})+2=0 \rightarrow a^2=-(\frac{9}{4})[/tex3]

, [tex3]a\in \mathbb{R}[/tex3]

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[tex3]a\in \mathbb{R}[/tex3]

, absurdo! Como queríamos, não gera nenhuma solução.

[tex3]\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{1}{i}-\frac{1}{2i}=\frac{1}{2i}=-\frac{i}{2}[/tex3]

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[tex3]\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{1}{i}-\frac{1}{2i}=\frac{1}{2i}=-\frac{i}{2}[/tex3]

[Deleted User 24851]

Gostaria de saber se existe outra forma de se resolver essa questão, pois não entedi o porquê de igualar x à a+bi. Em minha tentativa de resolução coloquei i em evidência, portanto: -x+i(x²+2)=0 e assim igualei a parte real (x) à 0 e a parte imaginária (x²+2) à 0. O que eu posso ter feito de errado?