IME / ITA ⇒ (IME-59) Complexos Tópico resolvido
Moderador: [ Moderadores TTB ]
Mai 2011
23
18:58
(IME-59) Complexos
Um número complexo variável tem, para a parte real, os valores [tex3]x^2 - 2[/tex3]
e para a parte imaginária os valores [tex3]x\sqrt{2}[/tex3]
. Qual o valor mínimo do módulo desse número ?
Última edição: poti (Seg 23 Mai, 2011 18:58). Total de 1 vez.
VAIRREBENTA!
Mai 2011
23
21:36
Re: (IME-59) Complexos
Nunca estudei numeros complexos direito, vou começar agora... Mas la vai, vo ve se da certo aqui, se eu estiver errado por favor me corrijam.
Se ta pedindo valor minimo do modulo do numero, acho que
[tex3]Z = x^2-2+x\sqrt{2}i[/tex3]
[tex3]|x^2+x\sqrt{2}-2|[/tex3]
E o valor minimo sao propria as raizes. ( Eu entendi que o valor minimo é da equaçao toda, não expecifico dierito )
[tex3]\Delta = 2+8 = 10[/tex3]
[tex3]x' = \frac{-\sqrt{2}+\sqrt{10}}{2}[/tex3]
[tex3]x'' = \frac{-\sqrt{2}-\sqrt{10}}{2}[/tex3]
Abraçoos
Se ta pedindo valor minimo do modulo do numero, acho que
[tex3]Z = x^2-2+x\sqrt{2}i[/tex3]
[tex3]|x^2+x\sqrt{2}-2|[/tex3]
E o valor minimo sao propria as raizes. ( Eu entendi que o valor minimo é da equaçao toda, não expecifico dierito )
[tex3]\Delta = 2+8 = 10[/tex3]
[tex3]x' = \frac{-\sqrt{2}+\sqrt{10}}{2}[/tex3]
[tex3]x'' = \frac{-\sqrt{2}-\sqrt{10}}{2}[/tex3]
Abraçoos
Última edição: Vinisth (Seg 23 Mai, 2011 21:36). Total de 1 vez.
Mai 2011
23
21:59
Re: (IME-59) Complexos
Eu acho que você errou, mas me deu uma luz. O valor mínimo do módulo seria o valor mínimo que a função modular (que o representa) atinge, nesse caso zero.
Acho que está muito óbvio pra ser isso.
Acho que está muito óbvio pra ser isso.
VAIRREBENTA!
Mai 2011
23
22:29
Re: (IME-59) Complexos
Eu vi voce respondendo um topico sobre numeros complexos, o modulo é outra coisa e acho que não tem nada a ver que eu fiz aqui, esquece isso.
uaehuaehueahuaehuahe
Abraçaoo
Edit:
Dei uma lida rapida aqui, o modulo seria isso [tex3]|z|=\sqrt{a^2+b^2}[/tex3]
Pode ser que fique assim [tex3]|z| =\sqrt{(x^2-2)^2+(x\sqrt{2})^2)}= \sqrt{x^4-2x^2+4}[/tex3]
Pode ficar assim tambem --> [tex3]|z|=|x^4-2x^2+4|[/tex3] deve ser o caminho não sei ;/
Vou dormir aqui, abraços
uaehuaehueahuaehuahe
Abraçaoo
Edit:
Dei uma lida rapida aqui, o modulo seria isso [tex3]|z|=\sqrt{a^2+b^2}[/tex3]
Pode ser que fique assim [tex3]|z| =\sqrt{(x^2-2)^2+(x\sqrt{2})^2)}= \sqrt{x^4-2x^2+4}[/tex3]
Pode ficar assim tambem --> [tex3]|z|=|x^4-2x^2+4|[/tex3] deve ser o caminho não sei ;/
Vou dormir aqui, abraços
Última edição: Vinisth (Seg 23 Mai, 2011 22:29). Total de 1 vez.
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Mai 2011
24
10:26
Re: (IME-59) Complexos
Agora sim Vinisth está correto.
Olá Poti,
Só para complementar a respostar é [tex3]|z|_{min}=\sqrt{3}[/tex3]
Abraço.
Olá Poti,
Só para complementar a respostar é [tex3]|z|_{min}=\sqrt{3}[/tex3]
Abraço.
Última edição: FilipeCaceres (Ter 24 Mai, 2011 10:26). Total de 1 vez.
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- Última visita: 31-12-69
Fev 2020
20
13:00
Re: (IME-59) Complexos
Alguém poderia terminar a resolução?
Partindo de
[tex3]|z|=|x^{4}-2x^{2}+4|[/tex3]
Nao consegui encontrar o valor mínimo disso. Cheguei numa expressão trigonometrica com valores desfavoraveis.
Partindo de
[tex3]|z|=|x^{4}-2x^{2}+4|[/tex3]
Nao consegui encontrar o valor mínimo disso. Cheguei numa expressão trigonometrica com valores desfavoraveis.
-
- Última visita: 31-12-69
Fev 2020
20
14:51
Re: (IME-59) Complexos
Consegui com amigos...
[tex3]|Z|= \sqrt{(x^{2}-2)^{2}+(x\sqrt{2})^{2}}[/tex3]
Percebe-se qualquer x irá resultar em valores positivos. Sabemos, portanto, que so estamos trabalhando com valores positivos para o minimo possivel.
Desenvolvendo a expressão chegamos numa equaçao biquadrada...
[tex3]|Z| = \sqrt{x^{4}-2x^{2}+4}[/tex3]
Chamando
[tex3]f(x)=x^{4}-2x^{2}+4[/tex3]
Para resolver isso podemos imaginar uma equação
[tex3]g(y)=y^{2}-2y^{}+4[/tex3]
Podemos igualar as duas equações
F(X) = G(Y)
Por que? Pois é a ideia por trás da substituição de variaveis que sempre aplicamos em equaçoes biquadradas. Isso implica que o valor minimo de G(Y) será o mesmo valor minimo de F(X).
Sabemos calcular o valor minimo de G(Y).
ValorMIN = - delta ÷ 4a
ValorMIN = 3
E sabemos que [tex3]|Z|=\sqrt{f(x)}[/tex3]
Então o valor minimo do modulo de Z é [tex3]\sqrt{3}[/tex3] .
Outro modo de resolver é usando derivadas. Basta elevar ao quadrado ambos os lados de
[tex3]|Z| = \sqrt{x^{4}-2x^{2}+4}[/tex3]
Depois derivamos ambos os lados, obtendo
[tex3]4x^{3}-4x=0[/tex3]
Resolvendo essa equaçao encontramos x= 0, x= 1 ou x= -1.
Substituindo, encontramos que o valor minimo é [tex3]\sqrt{3}[/tex3] novamente.
[tex3]|Z|= \sqrt{(x^{2}-2)^{2}+(x\sqrt{2})^{2}}[/tex3]
Percebe-se qualquer x irá resultar em valores positivos. Sabemos, portanto, que so estamos trabalhando com valores positivos para o minimo possivel.
Desenvolvendo a expressão chegamos numa equaçao biquadrada...
[tex3]|Z| = \sqrt{x^{4}-2x^{2}+4}[/tex3]
Chamando
[tex3]f(x)=x^{4}-2x^{2}+4[/tex3]
Para resolver isso podemos imaginar uma equação
[tex3]g(y)=y^{2}-2y^{}+4[/tex3]
Podemos igualar as duas equações
F(X) = G(Y)
Por que? Pois é a ideia por trás da substituição de variaveis que sempre aplicamos em equaçoes biquadradas. Isso implica que o valor minimo de G(Y) será o mesmo valor minimo de F(X).
Sabemos calcular o valor minimo de G(Y).
ValorMIN = - delta ÷ 4a
ValorMIN = 3
E sabemos que [tex3]|Z|=\sqrt{f(x)}[/tex3]
Então o valor minimo do modulo de Z é [tex3]\sqrt{3}[/tex3] .
Outro modo de resolver é usando derivadas. Basta elevar ao quadrado ambos os lados de
[tex3]|Z| = \sqrt{x^{4}-2x^{2}+4}[/tex3]
Depois derivamos ambos os lados, obtendo
[tex3]4x^{3}-4x=0[/tex3]
Resolvendo essa equaçao encontramos x= 0, x= 1 ou x= -1.
Substituindo, encontramos que o valor minimo é [tex3]\sqrt{3}[/tex3] novamente.
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