IME / ITA(Simulado IME/ITA) Geometria Plana Tópico resolvido

Aqui deverão ser postadas questões desses vestibulares e de outras instituições militares (EN, CN, EsPCEx etc.).

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Flavio2020
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Nov 2019 29 22:50

(Simulado IME/ITA) Geometria Plana

Mensagem não lida por Flavio2020 »

Se a área da região equilátera [tex3]ABC[/tex3] é [tex3]S[/tex3] , calcule a área da região sombreada.
ll5.PNG
ll5.PNG (16.51 KiB) Exibido 357 vezes
a) [tex3]\frac{3S}{4}[/tex3]
b) [tex3]\frac{5S}{9}[/tex3]
c) [tex3]\frac{6S}{13}[/tex3]
d) [tex3]\frac{2S}{3}[/tex3]
e) [tex3]\frac{8S}{25}[/tex3]
Resposta

b

Última edição: pipoca (Sáb 30 Nov, 2019 11:58). Total de 1 vez.



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jvmago
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Nov 2019 30 00:05

Re: (Simulado IME/ITA) Geometria Plana

Mensagem não lida por jvmago »

Seja D o pé da perpendicular que parte de A, E o pé da perpendicular que parte de D, N o pé da perpendicular que parte de E, M a interseção das retas EN e AD, e F o ponto pelo qual parte a perpendicular cujo pé é o ponto N partiu!!!

Por definição S=(a²√3)/4

Por propriedade BD=DC=a/2

Repare agora que BfN=NaC=NmA=MdE=60° portanto :
O triângulo MDE é equilátero!

Vemos com facilidade que EdC=30 então pela proporções do triângulo retângulo egípcio temos:

DE=ME=MD=MA=(a√3)/4

Note agora que o triângulo ANM também é egípcio e portanto pela propriedade das proporções:

AN=(3a)/8

Como o triângulo ABC é equilátero então temos :

NB=(5a)/8

Note agora que o triângulo NFB também é egípcio tal que por propriedade

FB=(5a√3)/24

Por fim a área hachurada será a área de um trapézio pois temos FB//AD tal que:

x=( (5a√3)/12 + (a√3)/4) )* (a)/4

Simplificando tiramos
x=(9a²√3)/(12*4)

Usando a primeira informação nessa última
X=(3S)/4

PIMBADA



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rodBR
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Nov 2019 30 00:36

Re: (Simulado IME/ITA) Geometria Plana

Mensagem não lida por rodBR »

triang.png
triang.png (17.01 KiB) Exibido 322 vezes
Acredito que daria para fazer na raça por Geo. Analítica. Bastaria escolher [tex3]A[/tex3] como a origem do plano cartesiano, pois é fácil provar que [tex3]FA\perp AC[/tex3] . Assim, determinaríamos as coordenadas dos pontos [tex3]D, \ M, \ B, \ F[/tex3] . O problema seria o trabalho braçal. rsrs


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petras
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Nov 2019 30 00:42

Re: (Simulado IME/ITA) Geometria Plana

Mensagem não lida por petras »

jvmago, Não seria letra d?
[tex3]\mathsf{
S_t =\frac{DH+BG}{2} .DB=\frac{1}{2}(\frac{a\sqrt{3}}{4}+\frac{5a\sqrt{3}}{12}).\frac{a}{2}=\frac{a}{4}(\frac{8a\sqrt{3}}{12})=\frac{a^2\sqrt{3}}{6}\\
S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}\rightarrow 4S = a^2\sqrt{3}\rightarrow S_t=\frac{4S}{6}=\boxed{\frac{2S}{3}}}[/tex3]
Última edição: petras (Sáb 30 Nov, 2019 00:44). Total de 3 vezes.



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jvmago
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Nov 2019 30 05:42

Re: (Simulado IME/ITA) Geometria Plana

Mensagem não lida por jvmago »

rodBR escreveu:
Sáb 30 Nov, 2019 00:36
triang.png
Acredito que daria para fazer na raça por Geo. Analítica. Bastaria escolher [tex3]A[/tex3] como a origem do plano cartesiano, pois é fácil provar que [tex3]FA\perp AC[/tex3] . Assim, determinaríamos as coordenadas dos pontos [tex3]D, \ M, \ B, \ F[/tex3] . O problema seria o trabalho braçal. rsrs

Nem precisa de analítica pois repare pela minha resolução que AFBE é inscritivel


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jvmago
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Re: (Simulado IME/ITA) Geometria Plana

Mensagem não lida por jvmago »

petras escreveu:
Sáb 30 Nov, 2019 00:42
jvmago, Não seria letra d?
[tex3]\mathsf{
S_t =\frac{DH+BG}{2} .DB=\frac{1}{2}(\frac{a\sqrt{3}}{4}+\frac{5a\sqrt{3}}{12}).\frac{a}{2}=\frac{a}{4}(\frac{8a\sqrt{3}}{12})=\frac{a^2\sqrt{3}}{6}\\
S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}\rightarrow 4S = a^2\sqrt{3}\rightarrow S_t=\frac{4S}{6}=\boxed{\frac{2S}{3}}}[/tex3]
Pior!!!! Era para ser
x=( (5a√3)/24 + (a√3)/4) )* (a)/4

EU SOU UM ANIMAL


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petras
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Nov 2019 30 10:53

Re: (Simulado IME/ITA) Geometria Plana

Mensagem não lida por petras »

jvmago,
jvmago escreveu:
Sáb 30 Nov, 2019 00:05
Note agora que o triângulo NFB também é egípcio tal que por propriedade

FB=(5a√3)/24
Encontrei FB = [tex3]\mathsf{\frac{5a\sqrt{3}}{12}\\
\Delta_{NFB}\rightarrow N\hat{B}F=30^0\rightarrow cos30^o=\frac{NB}{FB}\rightarrow \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\frac{5a}{8}}{FB}\rightarrow FB=\frac{10a}{8\sqrt{3}}=\frac{10a\sqrt{3}}{24}=\frac{5a\sqrt{3}}{12}}[/tex3]
Anexos
tri.jpg
tri.jpg (24.14 KiB) Exibido 284 vezes
Última edição: petras (Sáb 30 Nov, 2019 10:53). Total de 1 vez.



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jvmago
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Re: (Simulado IME/ITA) Geometria Plana

Mensagem não lida por jvmago »

petras escreveu:
Sáb 30 Nov, 2019 10:53
jvmago,
jvmago escreveu:
Sáb 30 Nov, 2019 00:05
Note agora que o triângulo NFB também é egípcio tal que por propriedade

FB=(5a√3)/24
Encontrei FB = [tex3]\mathsf{\frac{5a\sqrt{3}}{12}\\
\Delta_{NFB}\rightarrow N\hat{B}F=30^0\rightarrow cos30^o=\frac{NB}{FB}\rightarrow \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\frac{5a}{8}}{FB}\rightarrow FB=\frac{10a}{8\sqrt{3}}=\frac{10a\sqrt{3}}{24}=\frac{5a\sqrt{3}}{12}}[/tex3]
Reaaaaal!


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rodBR
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Re: (Simulado IME/ITA) Geometria Plana

Mensagem não lida por rodBR »

Pelo "gráfico", do petras, acho que me equivoquei em:
rodBR escreveu:
Sáb 30 Nov, 2019 00:36
pois é fácil provar que [tex3]FA\perp AC[/tex3]
, mas no momento que estava pensando no problema eu tinha "visto" essa perpendicularidade. :x



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