Ensino MédioEquação do 2° grau Tópico resolvido

Problemas sobre assuntos estudados no Ensino Médio devem ser postados aqui. Se o problema for de Vestibular, poste-o no fórum Pré-Vestibular

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Hanon
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Out 2019 10 00:20

Equação do 2° grau

Mensagem não lida por Hanon »

Se [tex3]\alpha, \beta\in\mathbb{C}[/tex3] são as raízes distintas da equação [tex3]x^2-x+1=0[/tex3] , então [tex3]\alpha^{101}+\beta^{107}[/tex3] é igual a:
a) 2
b) -1
c) 0
d) 1




Movido de IME / ITA para Ensino Médio em Qui 10 Out, 2019 12:44 por ALDRIN

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csmarcelo
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Out 2019 10 13:16

Re: Equação do 2° grau

Mensagem não lida por csmarcelo »

[tex3]\Delta=(-1)^2-4\cdot1\cdot1=1-4=-3[/tex3]

[tex3]\alpha=\frac{-(-1)-\sqrt{-3}}{2\cdot1}=\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i[/tex3]

[tex3]\beta=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i[/tex3]

Em suas formas trigonométricas

[tex3]\alpha=\cos\frac{\pi}{3}-i\cdot\sin\frac{\pi}{3}[/tex3]

[tex3]\beta=\cos\frac{\pi}{3}+i\cdot\sin\frac{\pi}{3}[/tex3]

Logo,

[tex3]\alpha^{101}=\cos\frac{101\pi}{3}-i\cdot\sin\frac{101\pi}{3}=\cos\frac{50\cdot2\pi+\pi}{3}-i\cdot\sin\frac{50\cdot2\pi+\pi}{3}=\cos\frac{\pi}{3}-i\cdot\sin\frac{\pi}{3}[/tex3]

[tex3]\beta^{107}=\cos\frac{107\pi}{3}+i\cdot\sin\frac{107\pi}{3}=\cos\frac{53\cdot2\pi+\pi}{3}+i\cdot\sin\frac{53\cdot2\pi+\pi}{3}=\cos\frac{\pi}{3}+i\cdot\sin\frac{\pi}{3}[/tex3]

Dai,

[tex3]\alpha+\beta=\[\cos\frac{\pi}{3}-i\cdot\sin\frac{\pi}{3}\]+\[\cos\frac{\pi}{3}+i\cdot\sin\frac{\pi}{3}\]=2\cdot\cos\frac{\pi}{3}=1[/tex3]




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