IME / ITA(Simulado-Ime/Ita)Geometria Plana

Aqui deverão ser postadas questões desses vestibulares e de outras instituições militares (EN, CN, EsPCEx etc.).

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Flavio2020
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Set 2019 09 18:38

(Simulado-Ime/Ita)Geometria Plana

Mensagem não lida por Flavio2020 » Seg 09 Set, 2019 18:38

No gráfico PM=MT,T é ponto de tangência e AN+BM=2[tex3]\sqrt{5}[/tex3] .Calcule a área da região sombreada.
x12.PNG
x12.PNG (14.67 KiB) Exibido 275 vezes
a)3[tex3]\pi [/tex3]
b)4[tex3]\pi [/tex3]
c)2[tex3]\pi [/tex3]
d)[tex3]\pi [/tex3]
e)5[tex3]\pi [/tex3]
Resposta

c




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lookez
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Set 2019 14 14:26

Re: (Simulado-Ime/Ita)Geometria Plana

Mensagem não lida por lookez » Sáb 14 Set, 2019 14:26

Encontrei diferente do gabarito:
fig.PNG
fig.PNG (15.36 KiB) Exibido 125 vezes
[tex3]\frac{\overline{AN}+\overline{BM}}{2}[/tex3] é a base média do trapézio ABMN, que também será o raio do círculo, [tex3]\sqrt{5}[/tex3] .

Traçando [tex3]\overline{OQ}[/tex3] e [tex3]\overline{AQ}[/tex3] aparece o triângulo retângulo isósceles ABQ inscrito no círculo com vértice "olhando" para o diâmetro, assim conseguimos encontrar o ângulo [tex3]\alpha = 15°[/tex3] .

Área do setor circular: [tex3]\pi(\sqrt{5})^{2}\frac{135°}{360°}=\frac{15\pi}{8}[/tex3]

Última edição: lookez (Sáb 14 Set, 2019 18:43). Total de 2 vezes.



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jedi
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Set 2019 15 21:22

Re: (Simulado-Ime/Ita)Geometria Plana

Mensagem não lida por jedi » Dom 15 Set, 2019 21:22

Boa noite

Na verdade ABQ não é isóceles, AOQ e BOQ sim são isoceles, mas ABQ não

Encontrando alfa:

[tex3]\hat{BAQ}=3\alpha[/tex3]

[tex3]BM=R.\sen(3\alpha)+R[/tex3]

[tex3]PM=MT=R.\cos(3\alpha)[/tex3]

[tex3]\frac{PM}{BM}=\tan(\alpha)[/tex3]

[tex3]\frac{R.\cos(3\alpha)}{R.\sen(3\alpha)+R}=\tan(\alpha)[/tex3]

[tex3]\frac{\cos(3\alpha)}{\sen(3\alpha)+R}=\frac{\sen(\alpha)}{\cos(\alpha)}[/tex3]

[tex3]\cos(3\alpha)\cos(\alpha)=\sen(\alpha).\sen(3\alpha)+\sen(3\alpha)[/tex3]

[tex3]\cos(3\alpha)\cos(\alpha)-\sen(\alpha).\sen(3\alpha)=\sen(3\alpha)[/tex3]

[tex3]\cos(3\alpha-\alpha)=\sen(3\alpha)[/tex3]

[tex3]\cos(2\alpha)=\sen(3\alpha)[/tex3]

[tex3]\sen(\frac{\pi}{2}-2\alpha)=\sen(3\alpha)[/tex3]

[tex3]\frac{\pi}{2}-2\alpha=3\alpha[/tex3]

[tex3]\alpha=\frac{\pi}{10}[/tex3]



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LostWalker
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Set 2019 15 23:40

Re: (Simulado-Ime/Ita)Geometria Plana

Mensagem não lida por LostWalker » Dom 15 Set, 2019 23:40

De certo modo, eu cheguei no mesmo que jedi, porém eu usei Geometria Plana e não Geometria Analítica. A princípio, achei sua resolução muito interessante (dado que me sinto uma batata quando o assunto é Geometria Analítica).

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Vamos começar "organizando" essa bagunça de ângulos. Vou apenas mostrar as retas mais interessantes:
! 1.jpg
! 1.jpg (20.99 KiB) Exibido 70 vezes

[tex3]\overline{PM}=\overline{MT}[/tex3] então sendo [tex3]\overline{BM}[/tex3] uma reta em comum, podemos definir que:

[tex3]\angle{MBP}=\angle{TBM}=\alpha[/tex3]

Pensando que o ângulo parte dos pontos [tex3]T[/tex3] , [tex3]C[/tex3] e [tex3]B[/tex3] , que pertencem a circunferência, o ângulo [tex3]\angle TOC[/tex3] será seu dobro, ou seja, [tex3]2\alpha[/tex3]

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! 2.jpg
! 2.jpg (22.42 KiB) Exibido 70 vezes

Resumidamente, usasse mesmo princípio, logo, [tex3]\angle COB[/tex3] também valerá o dobro do seu respectivo, ou seja, [tex3]6\alpha[/tex3]

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Agora ideias de Simetria, tanto para os ângulos, quanto para as retas:
! 3.jpg
! 3.jpg (20.14 KiB) Exibido 70 vezes
Podemos usar e abusar do fato de [tex3]\overline{AN}[/tex3] e [tex3]\overline{BM}[/tex3] serem perpendiculares a Reta Tangente. Se fôssemos projetar o que temos embaixo para cima, logo veríamos:

[tex3]\mbox{I.}[/tex3] Mais um ângulo [tex3]2\alpha[/tex3] para a Reta Tangente. Ou seja, [tex3]\pi=10\alpha\,\,\,\therefore\,\,\,\alpha=\frac{\pi}{10}[/tex3] e todo o Círculo é [tex3]20\alpha[/tex3]

[tex3]\mbox{II.}\,\,\overline{AN}=\overline{BN'}[/tex3]


Com a [tex3]\mbox{II}[/tex3] , podemos dizer que o Diâmetro vale [tex3]d=2\sqrt5[/tex3] , logo, [tex3]r=\sqrt5[/tex3] e sua área:

[tex3]A=\pi r^2[/tex3]
[tex3]A=5\pi[/tex3]

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Com isso, Regra de 3 e temos nossa resposta:

[tex3]\frac{5\pi}{S}=\frac{20\alpha}{8\alpha}[/tex3]

[tex3]S=\frac{5\pi\cdot8{\color{Red}\cancel{\color{Black}\alpha}}}{20{\color{Red}\cancel{\color{Black}\alpha}}}[/tex3]


[tex3]\color{MidNightBlue}\boxed{S=2\pi}[/tex3]
[tex3]\color{MidNightBlue}\mbox{Alternativa C}[/tex3]
Última edição: LostWalker (Dom 15 Set, 2019 23:41). Total de 1 vez.


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Set 2019 21 16:50

Re: (Simulado-Ime/Ita)Geometria Plana

Mensagem não lida por geobson » Sáb 21 Set, 2019 16:50

há um vídeo explicado uma forma de resolver este problema
https://www.youtube.com/watch?v=8nN26cUA69g




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