IME / ITA ⇒ (Nível IME/ITA) Geometria Plana

[Flavio2020]

No desenho M,N e Q são pontos de tangência.Se AN=6(QN)=6.Calcule AM.

sou.PNG (16.37 KiB) Exibido 1559 vezes

a)6
b)5
c)[tex3]\sqrt{42}[/tex3]

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[tex3]\sqrt{42}[/tex3]

d)[tex3]\sqrt{43}[/tex3]

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[tex3]\sqrt{43}[/tex3]

e)[tex3]\sqrt{59}[/tex3]

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[tex3]\sqrt{59}[/tex3]

Resposta

---

c

[Ittalo25]

aaaaa.png (42.6 KiB) Exibido 1545 vezes

Pela homotetia em Q, os ângulos vermelhos são congruentes.
Sendo assim, os triângulos QCA e BNA são semelhantes.

[tex3]\frac{AN}{AC} = \frac{AB}{AQ}[/tex3]

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[tex3]\frac{AN}{AC} = \frac{AB}{AQ}[/tex3]

[tex3]\frac{6}{AC} = \frac{AB}{7}[/tex3]

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[tex3]\frac{6}{AC} = \frac{AB}{7}[/tex3]

[tex3]AB \cdot AC = 42[/tex3]

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[tex3]AB \cdot AC = 42[/tex3]

Mas por potência de ponto: [tex3]AM^2 = AB \cdot AC \rightarrow \boxed{ AM = \sqrt{42}} [/tex3]

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[tex3]AM^2 = AB \cdot AC \rightarrow \boxed{ AM = \sqrt{42}} [/tex3]

[guila100]

só pra complementar dava pra fazer pela potencia do circulo menor também

[tex3]AM^{2}=AN.AQ \\AM^2= 6(6+1)\\ AM = \sqrt{42}[/tex3]

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[tex3]AM^{2}=AN.AQ \\AM^2= 6(6+1)\\ AM = \sqrt{42}[/tex3]

[Hanon]

FelipeMartin, como fazer essa figura com régua e compasso?

[Flavio2020]

Agradeço.
Um abraço fraterno a todos..

[jvmago]

Mestre Flávio!!!!!

[FelipeMartin]

FelipeMartin, como fazer essa figura com régua e compasso?

essa é tranquila, o shooting lemma garante que [tex3]AM[/tex3]

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[tex3]AM[/tex3]

é reta tangente ao semicírculo. Logo, basta traçar essa reta tangente pra conseguir o ponto [tex3]M[/tex3]

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[tex3]M[/tex3]

depois fica fácil. Sendo [tex3]B[/tex3]

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[tex3]B[/tex3]

o antípoda de [tex3]A[/tex3]

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[tex3]A[/tex3]

então [tex3]N[/tex3]

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[tex3]N[/tex3]

está na reta [tex3]BM[/tex3]

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[tex3]BM[/tex3]

. Então já temos [tex3]M,N[/tex3]

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[tex3]M,N[/tex3]

basta encontrar a mediatriz com [tex3]O_1M[/tex3]

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[tex3]O_1M[/tex3]

pra pegar o centro.