IME / ITA ⇒ (Nível IME/ITA) Geometria Plana

[Flavio2020]

Se M e N são pontos de tangência,calcule a razão das áreas MBN e AMNC.

rb.PNG (21.06 KiB) Exibido 933 vezes

a)[tex3]\frac{r}{R}[/tex3]

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[tex3]\frac{r}{R}[/tex3]

b)[tex3]\frac{R+r}{\sqrt{Rr}}[/tex3]

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[tex3]\frac{R+r}{\sqrt{Rr}}[/tex3]

c)1
d)[tex3]\frac{R-r}{\sqrt{Rr}}[/tex3]

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[tex3]\frac{R-r}{\sqrt{Rr}}[/tex3]

e)2

Resposta

---

c

[Auto Excluído (ID:12031)]

[tex3]BN = r[/tex3]

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[tex3]BN = r[/tex3]

e [tex3]BM = R[/tex3]

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[tex3]BM = R[/tex3]

(pois os centros formam quadrados com as tangentes por elas serem perpendiculares, fácil ver pelo ângulo inscrito)

a área de NMB é [tex3]\frac{rR}2[/tex3]

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[tex3]\frac{rR}2[/tex3]

como os círculos são homotéticos por B (ou os centros do círculo estão na mesma bissetriz das tangentes) sabemos que B e os centros são alinhados, logo a distância entre os centros é: [tex3](R+r)\sqrt2[/tex3]

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[tex3](R+r)\sqrt2[/tex3]

de onde o tamanho da tangente comum aos círculos é dado por [tex3]\sqrt{2(R+r)^2 - (R-r)^2} = \sqrt{R^2 + r^2 + 6Rr}[/tex3]

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[tex3]\sqrt{2(R+r)^2 - (R-r)^2} = \sqrt{R^2 + r^2 + 6Rr}[/tex3]

[tex3]AM = x[/tex3]

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[tex3]AM = x[/tex3]

e [tex3]NC = y[/tex3]

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[tex3]NC = y[/tex3]

então [tex3]R+r+y= \sqrt{R^2 + r^2 + 6Rr} - y \iff 2y = \sqrt{R^2 + r^2 + 6Rr} - (R+r)[/tex3]

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[tex3]R+r+y= \sqrt{R^2 + r^2 + 6Rr} - y \iff 2y = \sqrt{R^2 + r^2 + 6Rr} - (R+r)[/tex3]

analogamente [tex3]2x = 2y[/tex3]

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[tex3]2x = 2y[/tex3]

então a relação entre as areas pedidas é: [tex3]\frac{(R+x)(r+x)}{Rr} -1 = \frac{(R+r)x + x^2}{Rr} = \frac{x(R+r+x)}{Rr} = \frac{Rr}{Rr} =1[/tex3]

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[tex3]\frac{(R+x)(r+x)}{Rr} -1 = \frac{(R+r)x + x^2}{Rr} = \frac{x(R+r+x)}{Rr} = \frac{Rr}{Rr} =1[/tex3]

formas mais espertas de enxergar esse fato são bem vindas

[Ittalo25]

[tex3]\frac{x(R+r+x)}{Rr} = \frac{Rr}{Rr} [/tex3]

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[tex3]\frac{x(R+r+x)}{Rr} = \frac{Rr}{Rr} [/tex3]

Não consegui entender essa parte.

[Auto Excluído (ID:12031)]

Não consegui entender essa parte.

é só álgebra:

[tex3]\frac{(\sqrt{R^2+r^2 + 6Rr} - (R+r))(\sqrt{R^2+r^2 + 6Rr} + (R+r))}{4} = \frac{R^2 + r^2 + 6Rr - (R^2 +2Rr + r^2)}4 = \frac{4Rr}4[/tex3]

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[tex3]\frac{(\sqrt{R^2+r^2 + 6Rr} - (R+r))(\sqrt{R^2+r^2 + 6Rr} + (R+r))}{4} = \frac{R^2 + r^2 + 6Rr - (R^2 +2Rr + r^2)}4 = \frac{4Rr}4[/tex3]