Ensino Médio ⇒ Binômio de Newton Tópico resolvido

[Babi123]

Determinar o termo máximo do desenvolvimento de [tex3]\(1+\frac{1}{3}\)^{30}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\(1+\frac{1}{3}\)^{30}[/tex3]

Resposta

---

[tex3]t_{12}=\frac{C_{50}^{12}}{3^{12}}[/tex3]

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[tex3]t_{12}=\frac{C_{50}^{12}}{3^{12}}[/tex3]

[MateusQqMD]

Da expansão do binômio, temos

[tex3]\(1+\frac{1}{3}\)^{30} = \sum_{k=0}^{30} \binom{30}{30 - k }1^{30-k}\frac{1}{3^k}[/tex3]

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[tex3]\(1+\frac{1}{3}\)^{30} = \sum_{k=0}^{30} \binom{30}{30 - k }1^{30-k}\frac{1}{3^k}[/tex3]

Portanto, o maior termo será aquele que satisfazer

[tex3]\binom{30}{30 - (k -1)}\frac{1}{3^{k-1}} < \binom{30}{30 - k}\frac{1}{3^k} > \binom{30}{30 - (k +1)}\frac{1}{3^{k+1}} [/tex3]

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[tex3]\binom{30}{30 - (k -1)}\frac{1}{3^{k-1}} < \binom{30}{30 - k}\frac{1}{3^k} > \binom{30}{30 - (k +1)}\frac{1}{3^{k+1}} [/tex3]

Para isso ocorrer, devemos ter

[tex3]\frac{30!}{(31 -k)!(k-1)!} \frac{1}{3^{k-1}}< \frac{30!}{(30-k)!(k)!} \frac{1}{3^k} [/tex3]

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[tex3]\frac{30!}{(31 -k)!(k-1)!} \frac{1}{3^{k-1}}< \frac{30!}{(30-k)!(k)!} \frac{1}{3^k} [/tex3]

[tex3]\frac{\cancel{30!}}{(31 -k)\cancel{(30-k)!}\cancel{(k-1)!}} \frac{1}{3^{k-1}}< \frac{\cancel{30!}}{\cancel{(30-k)!}(k)\cancel{(k-1)!}} \frac{1}{3^k}[/tex3]

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[tex3]\frac{\cancel{30!}}{(31 -k)\cancel{(30-k)!}\cancel{(k-1)!}} \frac{1}{3^{k-1}}< \frac{\cancel{30!}}{\cancel{(30-k)!}(k)\cancel{(k-1)!}} \frac{1}{3^k}[/tex3]

[tex3]4k < 31 [/tex3]

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[tex3]4k < 31 [/tex3]

[tex3]k < 7,75 [/tex3]

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[tex3]k < 7,75 [/tex3]

E também,

[tex3]\frac{30!}{(30-k)!(k)!} \frac{1}{3^k} > \frac{30!}{(29-k)!(k+1)!} \frac{1}{3^{k+1}} [/tex3]

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[tex3]\frac{30!}{(30-k)!(k)!} \frac{1}{3^k} > \frac{30!}{(29-k)!(k+1)!} \frac{1}{3^{k+1}} [/tex3]

[tex3]\frac{\cancel{30!}}{(30-k)\cancel{(29-k)!}\cancel{(k)!}} \frac{1}{3^k} > \frac{\cancel{30!}}{\cancel{(29-k)!}(k+1)\cancel{(k)!}} \frac{1}{3^{k+1}} [/tex3]

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[tex3]\frac{\cancel{30!}}{(30-k)\cancel{(29-k)!}\cancel{(k)!}} \frac{1}{3^k} > \frac{\cancel{30!}}{\cancel{(29-k)!}(k+1)\cancel{(k)!}} \frac{1}{3^{k+1}} [/tex3]

[tex3]4k > 27[/tex3]

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[tex3]4k > 27[/tex3]

[tex3]k > 6,75 [/tex3]

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[tex3]k > 6,75 [/tex3]

Daí o maior termo é obtido para [tex3]k = 7[/tex3]

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[tex3]k = 7[/tex3]

, sendo igual a

[tex3]\binom{30}{23 }\frac{1}{3^7} = \frac{30!}{23!7!}\frac{1}{3^7}[/tex3]

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[tex3]\binom{30}{23 }\frac{1}{3^7} = \frac{30!}{23!7!}\frac{1}{3^7}[/tex3]

[MateusQqMD]

Babi123, eu não consigo enxergar nenhum erro na minha solução, apesar do gabarito ter divergido

[Babi123]

MateusQqMD, muito obrigada!
VC está certo. É q acabei digitando errado o expoente, o correto seria [tex3]\(1+\frac{1}{3}\)^{50}[/tex3]

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[tex3]\(1+\frac{1}{3}\)^{50}[/tex3]

, mas agora já dá para terminar.