Física I ⇒ Cinemática Vetorial Tópico resolvido

[Oziel]

Numa partida de futebol, dois jogadores, A e B, deslocam-se sobre o gramado plano e horizontal com as velocidades constantes Va e Vb representadas abaixo. No esquema, mostram-se as posições de A e de B no instante t0 = 0 em que a distância que separa os dois jogadores é igual a D. O jogador A conduz a bola, enquanto B vai tentar desarmá-lo.

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Supondo-se conhecidas as intensidades das velocidades dos jogadores, Va e Vb, os ângulos de α e β que essas velocidades formam com o segmento de reta que interliga os atletas, além da distância D, pede-se determinar:


a) a relação entre Va, Vb, α e β para que ocorra encontre entre os dois jogadores.
b) na condição de encontro, com α constante, o ângulo β para que Vb seja mínima. Calcule, nesse caso, o valor de Vb.
c) o instante de encontro dos jogadores.

GABARITO:
a) Va. senα = Vb . senβ b) b = 90º e Vb(min) = Va . senα c) D/(Va. cosα + Vb.cosβ)

[LucasPinafi]

(a) Basta aplicar a lei dos senos no triângulo de lados [tex3]D, v_a t, v_b t[/tex3]

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[tex3]D, v_a t, v_b t[/tex3]

onde t é o tempo para que se encontrem. Assim,
[tex3]\frac{v_A}{\sen \beta } = \frac{v_B}{\sen \alpha} \Longrightarrow v_A \sen \alpha = v_B \sen \beta [/tex3]

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[tex3]\frac{v_A}{\sen \beta } = \frac{v_B}{\sen \alpha} \Longrightarrow v_A \sen \alpha = v_B \sen \beta [/tex3]

(b) Obviamente, ocorrerá para [tex3]\beta = 90^{\circ}[/tex3]

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[tex3]\beta = 90^{\circ}[/tex3]

. Assim, [tex3]v_B = v_A \sen \alpha[/tex3]

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[tex3]v_B = v_A \sen \alpha[/tex3]

(c) Ainda, pela lei dos senos:
[tex3]\frac{v_At}{\sen \beta} = \frac{v_Bt}{\sen \alpha} = \frac{D}{\sen (\pi -\alpha - \beta ) } \Longrightarrow \frac{v_A t \cos \alpha }{\sen \beta \cos \alpha} = \frac{v_B t \cos \beta }{\sen \alpha \cos \beta} = \frac{D}{\sen(\alpha + \beta ) } \\ \frac{v_A \cos \alpha + v_B \cos \beta}{\sen \alpha \cos \beta + \sen \beta \cos \alpha }t = \frac{D}{\sen(\alpha + \beta ) } \Longrightarrow t = \frac{D}{v_A \cos \alpha + v_B \cos \beta}[/tex3]

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[tex3]\frac{v_At}{\sen \beta} = \frac{v_Bt}{\sen \alpha} = \frac{D}{\sen (\pi -\alpha - \beta ) } \Longrightarrow \frac{v_A t \cos \alpha }{\sen \beta \cos \alpha} = \frac{v_B t \cos \beta }{\sen \alpha \cos \beta} = \frac{D}{\sen(\alpha + \beta ) } \\ \frac{v_A \cos \alpha + v_B \cos \beta}{\sen \alpha \cos \beta + \sen \beta \cos \alpha }t = \frac{D}{\sen(\alpha + \beta ) } \Longrightarrow t = \frac{D}{v_A \cos \alpha + v_B \cos \beta}[/tex3]