iSousa, essa sua solução funciona, mas você tem que lembrar que não pode usar as fórmulas do movimento retilíneo uniforme, tem que usar a forma geral que é justamente o cálculo (derivadas e integrais). O que você fez está correto:
[tex3]v(x) = \omega \sqrt{x^2 - x_0^2}[/tex3]
, aqui eu fiz pra um [tex3]x[/tex3]
arbitrário, não para o [tex3]\ell[/tex3]
de cara. Por que eu fiz isso? Pra usar na expressão:
[tex3]v = \frac {dx}{dt}[/tex3]
. Pra um [tex3]x[/tex3]
qualquer, se liga:
[tex3]\frac {dx}{dt} = \omega \sqrt{x^2 - x_0^2} \iff \frac{dx}{\sqrt{x^2 - x_0^2}} = \omega dt[/tex3]
integra os dois lados:
[tex3]\int_{x_0}^{\ell} \frac {dx}{\sqrt{x^2-x_0^2}} = \omega t[/tex3]
ai é só calcular essa integral, escreve [tex3]x = x_0 y[/tex3]
(com [tex3]x_0[/tex3]
constante) e convenciona [tex3]k = \frac {\ell}{x_0}[/tex3]
:
[tex3]dx = x_0 dy[/tex3]
:
[tex3]\int_{x_0}^{\ell} \frac {dx}{\sqrt{x^2-x_0^2}} = \int_{1}^k \frac {dy}{\sqrt{y^2-1}}[/tex3]
essa integral sai fazendo [tex3]y = \sec (\alpha)[/tex3]
ou usando direto alguma função trigonométrica hiperbólica.
Se [tex3]y = \sec (\alpha)[/tex3]
, então [tex3]dy = \tg(\alpha) \cdot \sec (\alpha) d\alpha[/tex3]
então:
[tex3]\int \frac {dy}{\sqrt{y^2-1}} = \int \frac {tg(\alpha) \sec (\alpha)d\alpha}{tg(\alpha)} = \int \frac {d\alpha}{\cos (\alpha)} = \ln (\sec (\alpha) + \tg (\alpha)) = \ln (y + \sqrt{y^2-1})[/tex3]
dá mais trabalho, mas sai também
[tex3]\int \frac{dx}{\cos(x)} = \int \frac{\cos (x)dx}{\cos^2(x)} = \int \frac{\cos (x)dx}{1 - \sen^2(x)} [/tex3]
[tex3]u = \sen (x) \implies \frac{du}{dx} = \cos (x) \iff du = \cos (x) dx[/tex3]
[tex3]\int \frac{\cos (x)dx}{1 - \sen^2(x)} = \int \frac{du}{1-u^2} = \int du \frac12(\frac1{1+u} + \frac1{1-u}) = \frac12 (\int \frac{du}{1+u} + \int \frac {du}{1-u})[/tex3]
[tex3]\frac12 [\ln(1+u) - \ln (1-u)] = \frac12 \ln (\frac{1+\sen (x)}{1-\sen (x)}) = \ln (\sec (x) + \tg (x))[/tex3]
φως εσύ και καρδιά μου εγώ πόσο σ' αγαπώ.