IME/ITA ⇒ Dinâmica Tópico resolvido

[jgcunha1]

Considere a figura a seguir. Não existe atrito entre
o bloco de massa m2
e o plano horizontal. A polia está rigi-
damente ligada ao suporte, de modo que não possa girar.
Não existe atrito entre o fio e a polia. O coeficiente de atrito
estático entre o bloco de massa m1
e o bloco de massa m2 é
igual a µ.

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a) Determine a aceleração dos blocos, supondo que m1
não deslize sobre m2
.
b) Qual deve ser o valor máximo de m3
para que m1 se mova juntamente com m2, sem que haja deslizamento de m1
sobre m2

c) Determine a tensão máxima do fio para este valor limite.


Gabarito:

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[jpedro09]

Como o peso do bloco 3 é a única força externa do sistema que inclui os três blocos (pois não existe atrito entre a superfície sob o bloco 2), pode-se afirmar que:

[tex3]P_{3}=a(m_{1}+m_{2}+m_{3}) \Rightarrow a=\frac{m_{3}g}{m_{1}+m_{2}+m_{3}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]P_{3}=a(m_{1}+m_{2}+m_{3}) \Rightarrow a=\frac{m_{3}g}{m_{1}+m_{2}+m_{3}}[/tex3]

No bloco 1 (deixarei uma figura em anexo para uma melhor compreensão):

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[tex3]F_{2,1}=P_{1} \Rightarrow F_{2,1}=m_{1}g[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]F_{2,1}=P_{1} \Rightarrow F_{2,1}=m_{1}g[/tex3]

[tex3]fat=m_{1}.a \Rightarrow fat=\frac{m_{1}m_{3}g}{m_{1}+m_{2}+m_{3}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]fat=m_{1}.a \Rightarrow fat=\frac{m_{1}m_{3}g}{m_{1}+m_{2}+m_{3}}[/tex3]

[tex3]fat\leq fat_{D} \Rightarrow\frac{m_{1}m_{3}g}{m_{1}+m_{2}+m_{3}}\leq F_{2,1}\mu \Rightarrow\frac{m_{1}m_{3}g}{m_{1}+m_{2}+m_{3}}\leq m_{1}g\mu \Rightarrow m_{3}=\mu\frac{(m_{1}+m_{2})}{1-\mu}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]fat\leq fat_{D} \Rightarrow\frac{m_{1}m_{3}g}{m_{1}+m_{2}+m_{3}}\leq F_{2,1}\mu \Rightarrow\frac{m_{1}m_{3}g}{m_{1}+m_{2}+m_{3}}\leq m_{1}g\mu \Rightarrow m_{3}=\mu\frac{(m_{1}+m_{2})}{1-\mu}[/tex3]

Logo, a aceleração nesta situação vale:

[tex3]a=\frac{m_{3}g}{m_{1}+m_{2}+m_{3}}=\frac{\frac{g\mu(m_{1}+m_{2})}{1-\mu}}{m_{1}+m_{2}+\frac{(m_{1}+m_{2})\mu}{1-\mu}}=g\mu[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a=\frac{m_{3}g}{m_{1}+m_{2}+m_{3}}=\frac{\frac{g\mu(m_{1}+m_{2})}{1-\mu}}{m_{1}+m_{2}+\frac{(m_{1}+m_{2})\mu}{1-\mu}}=g\mu[/tex3]

No bloco 3:

[tex3]P_{3}-T=m_{3}a \Rightarrow T=m_{3}g-m_{3}g\mu \Rightarrow T=m_{3}g(1-\mu)\Rightarrow T=\frac{(m_{1}+m_{2})\mu}{1-\mu}g(1-\mu)=g\mu(m_{1}+m_{2})[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]P_{3}-T=m_{3}a \Rightarrow T=m_{3}g-m_{3}g\mu \Rightarrow T=m_{3}g(1-\mu)\Rightarrow T=\frac{(m_{1}+m_{2})\mu}{1-\mu}g(1-\mu)=g\mu(m_{1}+m_{2})[/tex3]