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5,04 e zero
IME/ITA ⇒ (Escola naval -2008) potencia Tópico resolvido
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Mar 2021
27
17:06
(Escola naval -2008) potencia
Pacotes são transportados de um nivel para outro através de uma esteira que se move com velocidade constante de modulo igual a 0,8m/s verifica-se que a esteira se move 1,5m para cima com um angulo de 12° com a horizontal, em seguida move-se 2,5m horizontalmente e finalmente 1,0m para baixo fazendo um angulo de 8° com a horizontal. considere g = 10m/s. A massa de um pacote vale 3kg sendo transportado pela esteira sem escorregar. As potencias da força exercida pela esteira sobre cada pacote quando em movimento para cima na inclinação de 12 e na horizontal são respectivamente, em watt
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5,04 e zero
"Existem três tipos de homens: os vivos, os mortos e os que vão para o mar." - Platão
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joaopcarv
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Abr 2021
09
18:20
Re: (Escola naval -2008) potencia
Vamos considerar que as caixas estão em equilíbrio em todo o movimento (velocidade constante).
Movimento de subida [tex3]\rightarrow[/tex3]
Adotemos um sistema de coordenadas [tex3]\mathsf{\Big(\hat{i}, \hat{j}\Big)}[/tex3] de forma que a rampa tenha uma inclinação de [tex3]\mathsf{\alpha \ = \ 12^\circ \ = \ \dfrac{\pi}{15} \ \rad}[/tex3] com o eixo [tex3]\mathsf{x.}[/tex3]
Nesse movimento de subida, as forças que agem na rampa são o peso [tex3]\mathsf{\vec{P}}[/tex3] , a normal [tex3]\mathsf{\vec{N}}[/tex3] e a força adicional [tex3]\mathsf{\vec{F} \ = \ F_x \hat{i} \ + \ F_y \hat{j}}[/tex3] que promove o equilíbrio das caixas na subida. Esse é o esforço solicitado ao motor da rampa e é dele que calcularemos a sua potência.
Vamos adotar que [tex3]\mathsf{\vec{N}}[/tex3] é orientada para a região externa à rampa, de forma que a sua inclinação com o eixo [tex3]\mathsf{x}[/tex3] seja de [tex3]\mathsf{180^\circ \ - \ (90^\circ \ - \ 12^\circ) \ = \ 102^\circ.}[/tex3] Então [tex3]\mathsf{\vec{N} \ = \ N \cdot \Big( \cos(102^\circ) \hat{i} \ + \ \sin(102^\circ)\hat{j}\Big).}[/tex3] Usando a soma de arcos: [tex3]\mathsf{\vec{N} \ = \ N \cdot \Big(-\sin(12^\circ) \hat{i} \ + \ Ny\cdot\cos(12^\circ)\hat{j}\Big).}[/tex3]
Equilíbrio horizontal:
[tex3]\mathsf{N_x\hat{i} \ + \ F_x\hat{i} \ = \ \vec{0}}[/tex3]
Equilíbrio vertical:
[tex3]\mathsf{N_y\hat{j} \ + \ F_y\hat{j} \ + \ \vec{P} \ = \ \vec{0}}[/tex3]
Sendo [tex3]\mathsf{\vec{P} \ = \ - 30 \hat{j} \ N}[/tex3] , resolvemos para [tex3]\mathsf{\mathsf{\vec{F}}}[/tex3] , considerando que [tex3]\mathsf{\mathsf{\vec{F}} \ = \ F \cdot \Big(\cos(12^\circ) \hat{i} \ + \ \sen(12^ \circ) \hat{j}\Big)}[/tex3] (vínculo geométrico entre força e rampa).
[tex3]\mathsf{N_x\hat{i} \ + \ F_x\hat{i} \ = \ \vec{0} \ \Rightarrow \ F \cdot \cos(12^\circ) \ = \ N \cdot \sin(12^\circ) \ (I)}[/tex3]
[tex3]\mathsf{N_y\hat{j} \ + \ F_y\hat{j} \ + \ \vec{P} \ = \ \vec{0} \ \Rightarrow \ N \cdot \cos(12^\circ) \ + \ F \cdot \sin(12^\circ) \ = \ 30 \ (II)}[/tex3]
Substitua [tex3]\mathsf{(I)}[/tex3] em [tex3]\mathsf{(II)}[/tex3] e ache [tex3]\mathsf{F \ = \ 30 \cdot \sin(12^\circ).}[/tex3] Como o exercício não nos informou esse valor, eu utilizarei [tex3]\mathsf{\sin(12^\circ) \ = \ 0,208:}[/tex3]
[tex3]\mathsf{F \ = \ 6,24 \ N}[/tex3] é o módulo da força adicional.
A potência exercida pela força é [tex3]\mathsf{\mathscr{P}\ = \ \vec{F} \cdot \vec{v} \ = \ F \cdot v \cdot \cos(\theta)}[/tex3] . Porém perceba que a força e a velocidade estão vinculadas pela direção da rampa, sendo ambas paralelas à mesma e na mesma direção [tex3]\mathsf{\Big(\cos(12^\circ) \hat{i} + \ \sen(12^\circ) \hat{j}\Big)}[/tex3] . Logo, [tex3]\mathsf{\theta \ = \ 0^\circ.}[/tex3]
[tex3]\mathsf{\mathscr{P} \ = \ \cancelto{6,24}{F} \cdot \cancelto{v}{0,8} \cdot \cancelto{1}{\cos(0)}}[/tex3]
[tex3]\boxed{\mathsf{\mathscr{P} \ = \ 4,992 \ W}}[/tex3]
Se quisermos o mesmo valor do gabarito, teríamos que arrendondar [tex3]\mathsf{\sin(12^\circ) \ = \ 0,21}[/tex3] , porque assim teríamos [tex3]\mathsf{\mathscr{P} \ = \ 30 \cdot 0,21 \cdot 0,8 \ = \ 5,04 \ W.}[/tex3]
Movimento horizontal [tex3]\rightarrow[/tex3]
Nessa parte, o vínculo geométrico implica que não haja componentes horizontais do peso e nem da normal. Sendo assim, qualquer força adicional solicitada à rampa só possuirá uma componente vertical. Sendo que a velocidade nesse trecho é horizontal, então [tex3]\mathsf{\vec{F} \ \perp \ \vec{v}}[/tex3] , logo [tex3]\mathsf{\mathscr{P} \ = \ 0 \ W.}[/tex3]
Movimento de subida [tex3]\rightarrow[/tex3]
Adotemos um sistema de coordenadas [tex3]\mathsf{\Big(\hat{i}, \hat{j}\Big)}[/tex3] de forma que a rampa tenha uma inclinação de [tex3]\mathsf{\alpha \ = \ 12^\circ \ = \ \dfrac{\pi}{15} \ \rad}[/tex3] com o eixo [tex3]\mathsf{x.}[/tex3]
Nesse movimento de subida, as forças que agem na rampa são o peso [tex3]\mathsf{\vec{P}}[/tex3] , a normal [tex3]\mathsf{\vec{N}}[/tex3] e a força adicional [tex3]\mathsf{\vec{F} \ = \ F_x \hat{i} \ + \ F_y \hat{j}}[/tex3] que promove o equilíbrio das caixas na subida. Esse é o esforço solicitado ao motor da rampa e é dele que calcularemos a sua potência.
Vamos adotar que [tex3]\mathsf{\vec{N}}[/tex3] é orientada para a região externa à rampa, de forma que a sua inclinação com o eixo [tex3]\mathsf{x}[/tex3] seja de [tex3]\mathsf{180^\circ \ - \ (90^\circ \ - \ 12^\circ) \ = \ 102^\circ.}[/tex3] Então [tex3]\mathsf{\vec{N} \ = \ N \cdot \Big( \cos(102^\circ) \hat{i} \ + \ \sin(102^\circ)\hat{j}\Big).}[/tex3] Usando a soma de arcos: [tex3]\mathsf{\vec{N} \ = \ N \cdot \Big(-\sin(12^\circ) \hat{i} \ + \ Ny\cdot\cos(12^\circ)\hat{j}\Big).}[/tex3]
Equilíbrio horizontal:
[tex3]\mathsf{N_x\hat{i} \ + \ F_x\hat{i} \ = \ \vec{0}}[/tex3]
Equilíbrio vertical:
[tex3]\mathsf{N_y\hat{j} \ + \ F_y\hat{j} \ + \ \vec{P} \ = \ \vec{0}}[/tex3]
Sendo [tex3]\mathsf{\vec{P} \ = \ - 30 \hat{j} \ N}[/tex3] , resolvemos para [tex3]\mathsf{\mathsf{\vec{F}}}[/tex3] , considerando que [tex3]\mathsf{\mathsf{\vec{F}} \ = \ F \cdot \Big(\cos(12^\circ) \hat{i} \ + \ \sen(12^ \circ) \hat{j}\Big)}[/tex3] (vínculo geométrico entre força e rampa).
[tex3]\mathsf{N_x\hat{i} \ + \ F_x\hat{i} \ = \ \vec{0} \ \Rightarrow \ F \cdot \cos(12^\circ) \ = \ N \cdot \sin(12^\circ) \ (I)}[/tex3]
[tex3]\mathsf{N_y\hat{j} \ + \ F_y\hat{j} \ + \ \vec{P} \ = \ \vec{0} \ \Rightarrow \ N \cdot \cos(12^\circ) \ + \ F \cdot \sin(12^\circ) \ = \ 30 \ (II)}[/tex3]
Substitua [tex3]\mathsf{(I)}[/tex3] em [tex3]\mathsf{(II)}[/tex3] e ache [tex3]\mathsf{F \ = \ 30 \cdot \sin(12^\circ).}[/tex3] Como o exercício não nos informou esse valor, eu utilizarei [tex3]\mathsf{\sin(12^\circ) \ = \ 0,208:}[/tex3]
[tex3]\mathsf{F \ = \ 6,24 \ N}[/tex3] é o módulo da força adicional.
A potência exercida pela força é [tex3]\mathsf{\mathscr{P}\ = \ \vec{F} \cdot \vec{v} \ = \ F \cdot v \cdot \cos(\theta)}[/tex3] . Porém perceba que a força e a velocidade estão vinculadas pela direção da rampa, sendo ambas paralelas à mesma e na mesma direção [tex3]\mathsf{\Big(\cos(12^\circ) \hat{i} + \ \sen(12^\circ) \hat{j}\Big)}[/tex3] . Logo, [tex3]\mathsf{\theta \ = \ 0^\circ.}[/tex3]
[tex3]\mathsf{\mathscr{P} \ = \ \cancelto{6,24}{F} \cdot \cancelto{v}{0,8} \cdot \cancelto{1}{\cos(0)}}[/tex3]
[tex3]\boxed{\mathsf{\mathscr{P} \ = \ 4,992 \ W}}[/tex3]
Se quisermos o mesmo valor do gabarito, teríamos que arrendondar [tex3]\mathsf{\sin(12^\circ) \ = \ 0,21}[/tex3] , porque assim teríamos [tex3]\mathsf{\mathscr{P} \ = \ 30 \cdot 0,21 \cdot 0,8 \ = \ 5,04 \ W.}[/tex3]
Movimento horizontal [tex3]\rightarrow[/tex3]
Nessa parte, o vínculo geométrico implica que não haja componentes horizontais do peso e nem da normal. Sendo assim, qualquer força adicional solicitada à rampa só possuirá uma componente vertical. Sendo que a velocidade nesse trecho é horizontal, então [tex3]\mathsf{\vec{F} \ \perp \ \vec{v}}[/tex3] , logo [tex3]\mathsf{\mathscr{P} \ = \ 0 \ W.}[/tex3]
Editado pela última vez por joaopcarv em 09 Abr 2021, 18:34, em um total de 1 vez.
That's all I'd do all day. I'd just be the catcher in the rye and all.
"Last year's wishes are this year's apologies... Every last time I come home (...)"
Poli-USP
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