Eu estava planejando responder a essa pergunta anteriormente, desculpe o atraso.
Enfim, usaremos aqui coordenadas cilíndricas e o conceito de densidade superficial de corrente elétrica.
[tex3]\bullet[/tex3]
Densidade superficial de corrente elétrica [tex3]\mathsf{\Big(\vec{K}\Big):}[/tex3]
- superficies.jpg (676.7 KiB) Exibido 1181 vezes
Seja [tex3]\mathsf{S}[/tex3]
uma superfície em que percorre a corrente líquida [tex3]\mathsf{i}[/tex3]
. Supondo que [tex3]\mathsf{i}[/tex3]
se distribui uniformemente por toda a superfície, ao tomarmos um comprimento infinitesimal [tex3]\mathsf{dl}[/tex3]
perpendicular às linhas de corrente, teremos uma fração infinitesimal de corrente [tex3]\mathsf{di}[/tex3]
que passa por esse comprimento (note que na direção paralela às linhas de corrente (notada no desenho por [tex3]\mathsf{dx}[/tex3]
), as linhas de corrente são as mesmas). então temos o limite (tratado ainda como escalar):
[tex3]\mathsf{K \ =\ \dfrac{di}{dl}}[/tex3]
Sendo essa grandeza a densidade superficial de corrente. Porém, podemos descrever [tex3]\mathsf{i \ =\ \dfrac{dq}{dt}}[/tex3]
.
Vamos considerar então uma distribuição superficial de carga [tex3]\mathsf{\sigma}[/tex3]
tal que [tex3]\mathsf{dq \ = \ \sigma \cdot dA}[/tex3]
. A área infinitesimal [tex3]\mathsf{dA}[/tex3]
é um retângulo de lados [tex3]\mathsf{dl}[/tex3]
e [tex3]\mathsf{dx}[/tex3]
. Portanto, temos: [tex3]\mathsf{dq \ = \ \sigma \cdot dx \cdot dl}[/tex3]
.
Juntando tudo:
[tex3]\mathsf{K \ = \ \dfrac{\sigma \cdot dx \cdot \cancel{dl}}{dt} \cdot \dfrac{1}{\cancel{dl}}}[/tex3]
[tex3]\mathsf{K \ =\ \sigma \cdot \cancelto{v}{\dfrac{dx}{dt}}}[/tex3]
[tex3]\mathsf{K \ = \ \sigma \cdot v,}[/tex3]
em que [tex3]\mathsf{v}[/tex3]
é a velocidade das cargas se deslocando ao longo das linhas de corrente.
Tratando de forma vetorial, sendo ambos os vetores paralelos às linhas de corrente, temos:
[tex3]\mathsf{\vec{K} \ = \ \sigma \cdot \vec{v}}[/tex3]
[tex3]\bullet[/tex3]
Coordenadas cilíndricas:
- cilindros.jpg (666.65 KiB) Exibido 1181 vezes
Passando do sistema cartesiano para o sistema cilíndrico, teremos uma base móvel [tex3]\mathsf{(\hat{r}, \hat{t}, \hat{k})}[/tex3]
(radial, tangencial, cota), conforme o desenho. Sendo [tex3]\mathsf{\hat{r} \ = \ \cos(\theta) \hat{i} \ + \ sen(\theta) \hat{j}}[/tex3]
e [tex3]\mathsf{\hat{t} \ \perp \ \hat{r}}[/tex3]
, então [tex3]\mathsf{\hat{t} \ = \ -\sen(\theta) \hat{i} \ + \ cos(\theta) \hat{j}}[/tex3]
.
A área infinitesimal da superfície de um cilindro de raio [tex3]\mathsf{r}[/tex3]
é o produto de um elemento infinitesimal de cota por um elemento infinitesimal de arco (descrito com um ângulo infinitesimal [tex3]\mathsf{d\theta}[/tex3]
). Ou seja:
[tex3]\mathsf{dA \ = \ r \cdot d\theta \cdot dz}[/tex3]
, com normal [tex3]\mathsf{\vec{n}}[/tex3]
apontada para o sentido positivo do vetor radial.
Seja [tex3]\mathsf{\vec{\omega} \ = \ \omega \hat{k}.}[/tex3]
Da definição, nos pontos da superfície cilíndrica, [tex3]\mathsf{\vec{v} \ = \ \vec{\omega} \times \vec{r} \ = \ w\cdot r\ \hat{t}}[/tex3]
, e essa é a velocidade vetorial das cargas (na direção tangencial).
Teremos então [tex3]\mathsf{\vec{K} \ = \ \sigma \cdot \vec{v} \ = \ \sigma \cdot \omega \cdot r \ \hat{t}}[/tex3]
(densidade superficial de corrente).
As linhas de corrente ficam definidas como sendo tangenciais ao redor do eixo de rotação e com orientação positiva.
[tex3]\bullet[/tex3]
Lei de Biot-Savart:
A lei de Biot-Savart (definição de campo magnético) para esse caso é:
[tex3]\mathsf{\vec{B} \ = \ \dfrac{\mu_0}{4\cdot\pi} \cdot \int\limits\int \frac{\vec{K} \times \hat{d}}{\Big|\Big|\vec{d}\Big|\Big|^2} \ dA}[/tex3]
Em que [tex3]\mathsf{\vec{d}}[/tex3]
é o vetor distância entre uma área infinitesimal do cilindro e o ponto considerado para o campo magnético.
Vou assumir que queremos calcular ao longo do eixo, e sendo o cilindro infinito, escolhemos um ponto arbitrário do eixo como origem e adotamos coordenadas cilíndricas:
[tex3]\mathsf{\bullet \ 0 \leq \theta \leq 2\cdot\pi;}[/tex3]
[tex3]\mathsf{\bullet \ 0 \leq R \leq r;}[/tex3]
[tex3]\mathsf{\bullet \ -\infty \leq z \leq \infty;}[/tex3]
Vamos calcular o campo na origem. sendo assim, assumindo uma área de carga qualquer numa posição genérica [tex3]\mathsf{P \ = \ (x,y,z)_{cart.} \ = \ (r, \theta,z)_{cil.}}[/tex3]
, o seu vetor distância é [tex3]\mathsf{\vec{d} \ =\ -r\cdot cos(\theta) \ \hat{i} \ - \ r \cdot \sen(\theta) \ \hat{j} - \ z \ \hat{k}}[/tex3]
, com módulo [tex3]\mathsf{\Big|\Big|\vec{d}\Big|\Big| \ = \ \sqrt{r^2 \ +\ z^2}}[/tex3]
e versor [tex3]\mathsf{\hat{d} \ = \ \dfrac{1}{\sqrt{r^2 \ + \ z^2}} \cdot \big(-r\cdot cos(\theta) \ \hat{i} \ - \ r \cdot \sen(\theta) \ \hat{j} - \ z \ \hat{k}\big)}[/tex3]
.
Temos [tex3]\mathsf{\vec{K} \ = \ \sigma \cdot \omega \cdot r \ \hat{t} \ = \ \sigma \cdot \omega \cdot r \cdot \big(-\sen(\theta) \hat{i} \ + \ \cos(\theta) \hat{j}\big)}[/tex3]
e [tex3]\mathsf{dA \ = \ r \cdot d\theta \cdot dz}[/tex3]
.
Juntando tudo e integrando nos limites de [tex3]\mathsf{\theta}[/tex3]
e [tex3]\mathsf{z}[/tex3]
:
[tex3]\mathsf{\vec{B} \ = \ \dfrac{\mu_0 \cdot \sigma \cdot \omega \cdot r}{4\cdot\pi} \cdot \int\limits_{-\infty}^{\infty}\int\limits_{0}^{2\cdot \pi} \frac{(-\sen(\theta), \cos(\theta)) \times (-r\cdot \cos(\theta), -r \cdot \sen(\theta), \ -z)}{{(\sqrt{r^2 \ +\ z^2})}^3} \ \cdot r \ d\theta \ dz}[/tex3]
Ao integrarmos esse produto vetorial, o único termo que "sobrevive" é o termo em [tex3]\mathsf{\hat{k}}[/tex3]
, pois nos outros teremos integrações de [tex3]\mathsf{\cos(\theta)}[/tex3]
e [tex3]\mathsf{\sen(\theta)}[/tex3]
em [tex3]\mathsf{[0,2\cdot\pi]}[/tex3]
;
Efetuando então o produto vetorial e anulando as outras componentes:
[tex3]\mathsf{\vec{B} \ = \ \dfrac{\mu_0 \cdot \sigma \cdot \omega \cdot r^3}{4\cdot\pi} \cdot \ \int\limits_{-\infty}^{\infty}\int\limits_{0}^{2\cdot \pi} \frac{d\theta \ dz}{{(\sqrt{r^2 \ +\ z^2})}^3} \ \hat{k}}[/tex3]
[tex3]\mathsf{\vec{B} \ = \ \dfrac{\mu_0 \cdot \sigma \cdot \omega \cdot r^3}{2} \cdot \ \int\limits_{-\infty}^{\infty} \frac{dz}{{(\sqrt{r^2 \ +\ z^2})}^3} \ \hat{k}}[/tex3]
Essa é uma integral que aparece regularmente em eletromagnetismo, e utilizando substituição trigonométrica [tex3]\mathsf{(z \ = \ r \cdot \tan(\psi))}[/tex3]
, encontramos:
[tex3]\mathsf{\vec{B} \ = \ \dfrac{\mu_0 \cdot \sigma \cdot \omega \cdot r^3}{2} \cdot \dfrac{1}{r^2} \cdot \dfrac{z}{\sqrt{z^2 \ + \ r^2}} \ \Bigg|_{-\infty}^{\infty} \ \hat{k}}[/tex3]
.
Os limites superior e inferior da primitiva dão, respectivamente, [tex3]\mathsf{1}[/tex3]
e [tex3]\mathsf{-1}[/tex3]
. Portanto, por fim:
[tex3]\boxed{\boxed{\mathsf{\vec{B} \ = \ \mu_0\cdot\sigma\cdot\omega\cdot r \ \ \hat{k}}}}[/tex3]
That's all I'd do all day. I'd just be the catcher in the rye and all.
"Last year's wishes are this year's apologies... Every last time I come home (...)"
Poli-USP