IME/ITA(Farias Brito) Magnetismo Tópico resolvido

Aqui deverão ser postadas questões desses vestibulares e de outras instituições militares (EN, CN, EsPCEx etc.).

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(Farias Brito) Magnetismo

Mensagem não lida por ITAIME »

Um cilindro de altura infinita e raio [tex3]r[/tex3] e densidade superficial de cargas [tex3]\delta [/tex3] gira em torno de seu eixo de simetria com velocidade angular [tex3]\omega [/tex3] .

Calcule o campo magnético em seu interior.
Resposta

[tex3]\mu \omega r\delta [/tex3]
ps: sim a resolução por lei de ampere é trivial, mas eu queria saber como se resolve com a matemática normal mesmo. tem livro que diz dá pra fazer se a gente dizer que o cilindro é uma associação de espiras, alguém sabe como resolver assim?

MUITO OBRIGADO PELA AJUDA!!

Última edição: MateusQqMD (Sex 26 Mar, 2021 06:50). Total de 1 vez.
Razão: retirar letras maiúsculas do título (regra 7).



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joaopcarv
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Re: (Farias Brito) Magnetismo

Mensagem não lida por joaopcarv »

Eu estava planejando responder a essa pergunta anteriormente, desculpe o atraso.

Enfim, usaremos aqui coordenadas cilíndricas e o conceito de densidade superficial de corrente elétrica.

[tex3]\bullet[/tex3] Densidade superficial de corrente elétrica [tex3]\mathsf{\Big(\vec{K}\Big):}[/tex3]
superficies.jpg
superficies.jpg (676.7 KiB) Exibido 1181 vezes
Seja [tex3]\mathsf{S}[/tex3] uma superfície em que percorre a corrente líquida [tex3]\mathsf{i}[/tex3] . Supondo que [tex3]\mathsf{i}[/tex3] se distribui uniformemente por toda a superfície, ao tomarmos um comprimento infinitesimal [tex3]\mathsf{dl}[/tex3] perpendicular às linhas de corrente, teremos uma fração infinitesimal de corrente [tex3]\mathsf{di}[/tex3] que passa por esse comprimento (note que na direção paralela às linhas de corrente (notada no desenho por [tex3]\mathsf{dx}[/tex3] ), as linhas de corrente são as mesmas). então temos o limite (tratado ainda como escalar):

[tex3]\mathsf{K \ =\ \dfrac{di}{dl}}[/tex3]

Sendo essa grandeza a densidade superficial de corrente. Porém, podemos descrever [tex3]\mathsf{i \ =\ \dfrac{dq}{dt}}[/tex3] .

Vamos considerar então uma distribuição superficial de carga [tex3]\mathsf{\sigma}[/tex3] tal que [tex3]\mathsf{dq \ = \ \sigma \cdot dA}[/tex3] . A área infinitesimal [tex3]\mathsf{dA}[/tex3] é um retângulo de lados [tex3]\mathsf{dl}[/tex3] e [tex3]\mathsf{dx}[/tex3] . Portanto, temos: [tex3]\mathsf{dq \ = \ \sigma \cdot dx \cdot dl}[/tex3] .

Juntando tudo:

[tex3]\mathsf{K \ = \ \dfrac{\sigma \cdot dx \cdot \cancel{dl}}{dt} \cdot \dfrac{1}{\cancel{dl}}}[/tex3]

[tex3]\mathsf{K \ =\ \sigma \cdot \cancelto{v}{\dfrac{dx}{dt}}}[/tex3]

[tex3]\mathsf{K \ = \ \sigma \cdot v,}[/tex3] em que [tex3]\mathsf{v}[/tex3] é a velocidade das cargas se deslocando ao longo das linhas de corrente.

Tratando de forma vetorial, sendo ambos os vetores paralelos às linhas de corrente, temos:

[tex3]\mathsf{\vec{K} \ = \ \sigma \cdot \vec{v}}[/tex3]

[tex3]\bullet[/tex3] Coordenadas cilíndricas:
cilindros.jpg
cilindros.jpg (666.65 KiB) Exibido 1181 vezes
Passando do sistema cartesiano para o sistema cilíndrico, teremos uma base móvel [tex3]\mathsf{(\hat{r}, \hat{t}, \hat{k})}[/tex3] (radial, tangencial, cota), conforme o desenho. Sendo [tex3]\mathsf{\hat{r} \ = \ \cos(\theta) \hat{i} \ + \ sen(\theta) \hat{j}}[/tex3] e [tex3]\mathsf{\hat{t} \ \perp \ \hat{r}}[/tex3] , então [tex3]\mathsf{\hat{t} \ = \ -\sen(\theta) \hat{i} \ + \ cos(\theta) \hat{j}}[/tex3] .

A área infinitesimal da superfície de um cilindro de raio [tex3]\mathsf{r}[/tex3] é o produto de um elemento infinitesimal de cota por um elemento infinitesimal de arco (descrito com um ângulo infinitesimal [tex3]\mathsf{d\theta}[/tex3] ). Ou seja:

[tex3]\mathsf{dA \ = \ r \cdot d\theta \cdot dz}[/tex3] , com normal [tex3]\mathsf{\vec{n}}[/tex3] apontada para o sentido positivo do vetor radial.

Seja [tex3]\mathsf{\vec{\omega} \ = \ \omega \hat{k}.}[/tex3] Da definição, nos pontos da superfície cilíndrica, [tex3]\mathsf{\vec{v} \ = \ \vec{\omega} \times \vec{r} \ = \ w\cdot r\ \hat{t}}[/tex3] , e essa é a velocidade vetorial das cargas (na direção tangencial).

Teremos então [tex3]\mathsf{\vec{K} \ = \ \sigma \cdot \vec{v} \ = \ \sigma \cdot \omega \cdot r \ \hat{t}}[/tex3] (densidade superficial de corrente).

As linhas de corrente ficam definidas como sendo tangenciais ao redor do eixo de rotação e com orientação positiva.

[tex3]\bullet[/tex3] Lei de Biot-Savart:

A lei de Biot-Savart (definição de campo magnético) para esse caso é:

[tex3]\mathsf{\vec{B} \ = \ \dfrac{\mu_0}{4\cdot\pi} \cdot \int\limits\int \frac{\vec{K} \times \hat{d}}{\Big|\Big|\vec{d}\Big|\Big|^2} \ dA}[/tex3]

Em que [tex3]\mathsf{\vec{d}}[/tex3] é o vetor distância entre uma área infinitesimal do cilindro e o ponto considerado para o campo magnético.

Vou assumir que queremos calcular ao longo do eixo, e sendo o cilindro infinito, escolhemos um ponto arbitrário do eixo como origem e adotamos coordenadas cilíndricas:

[tex3]\mathsf{\bullet \ 0 \leq \theta \leq 2\cdot\pi;}[/tex3]
[tex3]\mathsf{\bullet \ 0 \leq R \leq r;}[/tex3]
[tex3]\mathsf{\bullet \ -\infty \leq z \leq \infty;}[/tex3]

Vamos calcular o campo na origem. sendo assim, assumindo uma área de carga qualquer numa posição genérica [tex3]\mathsf{P \ = \ (x,y,z)_{cart.} \ = \ (r, \theta,z)_{cil.}}[/tex3] , o seu vetor distância é [tex3]\mathsf{\vec{d} \ =\ -r\cdot cos(\theta) \ \hat{i} \ - \ r \cdot \sen(\theta) \ \hat{j} - \ z \ \hat{k}}[/tex3] , com módulo [tex3]\mathsf{\Big|\Big|\vec{d}\Big|\Big| \ = \ \sqrt{r^2 \ +\ z^2}}[/tex3] e versor [tex3]\mathsf{\hat{d} \ = \ \dfrac{1}{\sqrt{r^2 \ + \ z^2}} \cdot \big(-r\cdot cos(\theta) \ \hat{i} \ - \ r \cdot \sen(\theta) \ \hat{j} - \ z \ \hat{k}\big)}[/tex3] .

Temos [tex3]\mathsf{\vec{K} \ = \ \sigma \cdot \omega \cdot r \ \hat{t} \ = \ \sigma \cdot \omega \cdot r \cdot \big(-\sen(\theta) \hat{i} \ + \ \cos(\theta) \hat{j}\big)}[/tex3] e [tex3]\mathsf{dA \ = \ r \cdot d\theta \cdot dz}[/tex3] .

Juntando tudo e integrando nos limites de [tex3]\mathsf{\theta}[/tex3] e [tex3]\mathsf{z}[/tex3] :

[tex3]\mathsf{\vec{B} \ = \ \dfrac{\mu_0 \cdot \sigma \cdot \omega \cdot r}{4\cdot\pi} \cdot \int\limits_{-\infty}^{\infty}\int\limits_{0}^{2\cdot \pi} \frac{(-\sen(\theta), \cos(\theta)) \times (-r\cdot \cos(\theta), -r \cdot \sen(\theta), \ -z)}{{(\sqrt{r^2 \ +\ z^2})}^3} \ \cdot r \ d\theta \ dz}[/tex3]

Ao integrarmos esse produto vetorial, o único termo que "sobrevive" é o termo em [tex3]\mathsf{\hat{k}}[/tex3] , pois nos outros teremos integrações de [tex3]\mathsf{\cos(\theta)}[/tex3] e [tex3]\mathsf{\sen(\theta)}[/tex3] em [tex3]\mathsf{[0,2\cdot\pi]}[/tex3] ;

Efetuando então o produto vetorial e anulando as outras componentes:

[tex3]\mathsf{\vec{B} \ = \ \dfrac{\mu_0 \cdot \sigma \cdot \omega \cdot r^3}{4\cdot\pi} \cdot \ \int\limits_{-\infty}^{\infty}\int\limits_{0}^{2\cdot \pi} \frac{d\theta \ dz}{{(\sqrt{r^2 \ +\ z^2})}^3} \ \hat{k}}[/tex3]

[tex3]\mathsf{\vec{B} \ = \ \dfrac{\mu_0 \cdot \sigma \cdot \omega \cdot r^3}{2} \cdot \ \int\limits_{-\infty}^{\infty} \frac{dz}{{(\sqrt{r^2 \ +\ z^2})}^3} \ \hat{k}}[/tex3]

Essa é uma integral que aparece regularmente em eletromagnetismo, e utilizando substituição trigonométrica [tex3]\mathsf{(z \ = \ r \cdot \tan(\psi))}[/tex3] , encontramos:

[tex3]\mathsf{\vec{B} \ = \ \dfrac{\mu_0 \cdot \sigma \cdot \omega \cdot r^3}{2} \cdot \dfrac{1}{r^2} \cdot \dfrac{z}{\sqrt{z^2 \ + \ r^2}} \ \Bigg|_{-\infty}^{\infty} \ \hat{k}}[/tex3] .

Os limites superior e inferior da primitiva dão, respectivamente, [tex3]\mathsf{1}[/tex3] e [tex3]\mathsf{-1}[/tex3] . Portanto, por fim:

[tex3]\boxed{\boxed{\mathsf{\vec{B} \ = \ \mu_0\cdot\sigma\cdot\omega\cdot r \ \ \hat{k}}}}[/tex3]

Última edição: joaopcarv (Sex 26 Mar, 2021 01:24). Total de 2 vezes.


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Re: (Farias Brito) Magnetismo

Mensagem não lida por ITAIME »

Caramba! Solução muito bem feita! Valeu!



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joaopcarv
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Re: (Farias Brito) Magnetismo

Mensagem não lida por joaopcarv »

Prazer em ter ajudado. Eu esqueci de comentar isso, mas implicitamente esse método que eu utilizei possui a lógica das espiras empilhadas.

Considere um cilindro infinitesimal de raio [tex3]\mathsf{r}[/tex3] e altura [tex3]\mathsf{dz}[/tex3] . Quando integramos em [tex3]\mathsf{\theta}[/tex3] , estamos calculando a contribuição de cada arco infinitesimal até completarmos (neste caso) uma volta, formando assim uma espira (note que a corrente circula nela como já havíamos constatado pelas linhas de corrente).
Cada espira pode ser vista então como um aro cilíndrico de altura infinitesimal [tex3]\mathsf{dz}[/tex3] . Por fim, ao integrarmos em [tex3]\mathsf{z}[/tex3] , percorremos o cilindro inteiro (neste caso, infinito).


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Re: (Farias Brito) Magnetismo

Mensagem não lida por ITAIME »

joaopcarv escreveu:
Sáb 27 Mar, 2021 00:10
Prazer em ter ajudado. Eu esqueci de comentar isso, mas implicitamente esse método que eu utilizei possui a lógica das espiras empilhadas.

Considere um cilindro infinitesimal de raio [tex3]\mathsf{r}[/tex3] e altura [tex3]\mathsf{dz}[/tex3] . Quando integramos em [tex3]\mathsf{\theta}[/tex3] , estamos calculando a contribuição de cada arco infinitesimal até completarmos (neste caso) uma volta, formando assim uma espira (note que a corrente circula nela como já havíamos constatado pelas linhas de corrente).
Cada espira pode ser vista então como um aro cilíndrico de altura infinitesimal [tex3]\mathsf{dz}[/tex3] . Por fim, ao integrarmos em [tex3]\mathsf{z}[/tex3] , percorremos o cilindro inteiro (neste caso, infinito).
Eu percebi... De fato o melhor caminho nessa questão era usar lei de ampere. Mas eu tava muito em dúvida em como fazer por esse método. Obrigado de verdade pelo tempo e conhecimento!




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