IME/ITA ⇒ (ITA 1978) Mecânica Tópico resolvido

[careca]

Um garoto pode deslizar sobre um escorregador solidário com um barco, a partir de uma altura “H” (ver figura). O plano do escorregador forma um ângulo de 30º com o plano horizontal. A massa “m” do garoto é igual à metade da massa “M” do conjunto barco-escorregador. Supondo que o sistema inicialmente esteja em repouso e desprezando os atritos, no instante em que o garoto atingir o ponto “A”, a velocidade do barco será dada por:

ITA-old.png (44.56 KiB) Exibido 1762 vezes

a) [tex3]\sqrt{\frac{gH}{3}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sqrt{\frac{gH}{3}}[/tex3]

b) [tex3]v = 0 [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]v = 0 [/tex3]

( em repouso )

c) [tex3]\sqrt{\frac{3gH}{2(3+4)}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sqrt{\frac{3gH}{2(3+4)}}[/tex3]

d) [tex3]2\sqrt{\frac{gH}{3}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]2\sqrt{\frac{gH}{3}}[/tex3]

e) [tex3]\sqrt{\frac{2gH}{3}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sqrt{\frac{2gH}{3}}[/tex3]

Resposta

---

GABARITO = E

[joaopcarv]

Essas alternativas estão meio estranhas, mas enfim...

Vamos considerar um sistema inercial externo para analisarmos a quantidade de movimento do sistema. Nesse sistema, ambos barco e garoto estão inicialmente em repouso, ou seja, [tex3]\mathsf{\vec{v}_{b}(i) \ = \ \vec{v}_{m}(i) \ = \ \vec{0}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\mathsf{\vec{v}_{b}(i) \ = \ \vec{v}_{m}(i) \ = \ \vec{0}}[/tex3]

, então a quantidade de movimento inicial total [tex3]\mathsf{\vec{P}_i \ = \ \vec{0}.}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\mathsf{\vec{P}_i \ = \ \vec{0}.}[/tex3]

Ao escorregar da rampa, o garoto adquire velocidade, mas a quantidade de movimento adquirida pelo garoto ocasiona ganho de quantidade de movimento por parte do sistema barco-garoto (para que se conserve a quantidade de movimento). Ou seja, barco junto com o garoto se movimentam, de forma que, para o observador externo, temos que considerar o movimento do barco mais o movimento relativo.

Movimento relativo [tex3]\rightarrow[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\rightarrow[/tex3]

Considerando só o referencial do barco (barco "parado"), podemos aplicar a conservação de energia mecânica ao garoto:

[tex3]\mathsf{\cancel{m} \cdot g \cdot H \ = \ \dfrac{\cancel{m} \cdot v_r^2}{2} \ \rightarrow \ v_r \ = \ \sqrt{2 \cdot g \cdot h} \ \hookrightarrow}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\mathsf{\cancel{m} \cdot g \cdot H \ = \ \dfrac{\cancel{m} \cdot v_r^2}{2} \ \rightarrow \ v_r \ = \ \sqrt{2 \cdot g \cdot h} \ \hookrightarrow}[/tex3]

Esse é o módulo da velocidade relativa do garoto em relação ao barco após ele ter escorregado.

Projetando essa velocidade na inclinação da rampa, temos:

[tex3]\mathsf{\vec{v_r} \ = \ v_r \cdot \Big(-\cos(30^\circ) \hat{i} \ - \ \sen(30^\circ) \hat{j} \Big)}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\mathsf{\vec{v_r} \ = \ v_r \cdot \Big(-\cos(30^\circ) \hat{i} \ - \ \sen(30^\circ) \hat{j} \Big)}[/tex3]

[tex3]\mathsf{\vec{v_r} \ = \ \dfrac{-\sqrt{2 \cdot g \cdot h}}{2} \cdot \Big(\sqrt{3} \hat{i} \ + \ \hat{j} \Big)}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\mathsf{\vec{v_r} \ = \ \dfrac{-\sqrt{2 \cdot g \cdot h}}{2} \cdot \Big(\sqrt{3} \hat{i} \ + \ \hat{j} \Big)}[/tex3]

Movimento segundo o referencial externo [tex3]\rightarrow[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\rightarrow[/tex3]

Após o garoto ter escorregado da rampa, o sistema barco-garoto adquire velocidade [tex3]\mathsf{\vec{v_s} \ = \ v_x \hat{i} \ + \ v_y \hat{j}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\mathsf{\vec{v_s} \ = \ v_x \hat{i} \ + \ v_y \hat{j}}[/tex3]

, de forma que a velocidade resultante do garoto é [tex3]\mathsf{\vec{v_g} \ = \ \vec{v_s} \ + \ \vec{v_r} \ = \ \Bigg(v_x \ - \ \dfrac{\sqrt{6 \cdot g \cdot h}}{2}\Bigg) \hat{i} \ + \ \Bigg(v_y \ - \ \dfrac{\sqrt{2 \cdot g \cdot h}}{2}\Bigg) \hat{j}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\mathsf{\vec{v_g} \ = \ \vec{v_s} \ + \ \vec{v_r} \ = \ \Bigg(v_x \ - \ \dfrac{\sqrt{6 \cdot g \cdot h}}{2}\Bigg) \hat{i} \ + \ \Bigg(v_y \ - \ \dfrac{\sqrt{2 \cdot g \cdot h}}{2}\Bigg) \hat{j}}[/tex3]

Conservação de quantidade de movimento: [tex3]\mathsf{\vec{P}_i \ = \ \vec{P}_f \ = \vec{0}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\mathsf{\vec{P}_i \ = \ \vec{P}_f \ = \vec{0}}[/tex3]

[tex3]\mathsf{\vec{0} \ = \ \dfrac{\cancel{M}}{2} \cdot \vec{v_g} \ + \ \cancel{M} \cdot \vec{v_s}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\mathsf{\vec{0} \ = \ \dfrac{\cancel{M}}{2} \cdot \vec{v_g} \ + \ \cancel{M} \cdot \vec{v_s}}[/tex3]

[tex3]\mathsf{\vec{0} \ = \ \dfrac{1}{2} \cdot \Bigg(\Bigg(v_x \ - \ \dfrac{\sqrt{6 \cdot g \cdot h}}{2}\Bigg) \hat{i} \ + \ \Bigg(v_y \ - \ \dfrac{\sqrt{2 \cdot g \cdot h}}{2}\Bigg) \hat{j}\Bigg) \ + \ v_x \hat{i} \ + \ v_y \hat{j}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\mathsf{\vec{0} \ = \ \dfrac{1}{2} \cdot \Bigg(\Bigg(v_x \ - \ \dfrac{\sqrt{6 \cdot g \cdot h}}{2}\Bigg) \hat{i} \ + \ \Bigg(v_y \ - \ \dfrac{\sqrt{2 \cdot g \cdot h}}{2}\Bigg) \hat{j}\Bigg) \ + \ v_x \hat{i} \ + \ v_y \hat{j}}[/tex3]

Resolvendo em cada coordenada:

[tex3]\mathsf{\dfrac{1}{2} \cdot v_x \ + \ v_x \ - \ \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{\sqrt{6 \cdot g \cdot h}}{2} \ = \ 0 \ \therefore \ \boxed{\mathsf{v_x \ = \ \dfrac{\sqrt{6 \cdot g \cdot h}}{6}}}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\mathsf{\dfrac{1}{2} \cdot v_x \ + \ v_x \ - \ \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{\sqrt{6 \cdot g \cdot h}}{2} \ = \ 0 \ \therefore \ \boxed{\mathsf{v_x \ = \ \dfrac{\sqrt{6 \cdot g \cdot h}}{6}}}}[/tex3]

[tex3]\mathsf{\dfrac{1}{2} \cdot v_y \ + \ v_y \ - \ \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{\sqrt{2 \cdot g \cdot h}}{2} \ = \ 0 \ \therefore \ \boxed{\mathsf{v_y \ = \ \dfrac{\sqrt{2 \cdot g \cdot h}}{6}}}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\mathsf{\dfrac{1}{2} \cdot v_y \ + \ v_y \ - \ \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{\sqrt{2 \cdot g \cdot h}}{2} \ = \ 0 \ \therefore \ \boxed{\mathsf{v_y \ = \ \dfrac{\sqrt{2 \cdot g \cdot h}}{6}}}}[/tex3]

A velocidade do barco então é: [tex3]\mathsf{\vec{v_s} \ = \ \dfrac{\sqrt{6 \cdot g \cdot h}}{6} \hat{i} \ + \ \dfrac{\sqrt{2 \cdot g \cdot h}}{6} \hat{j}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\mathsf{\vec{v_s} \ = \ \dfrac{\sqrt{6 \cdot g \cdot h}}{6} \hat{i} \ + \ \dfrac{\sqrt{2 \cdot g \cdot h}}{6} \hat{j}}[/tex3]

, cujo módulo é [tex3]\mathsf{v_s \ = \ \sqrt{v_x^2 \ + \ v_y^2} \ \therefore \boxed{\boxed{\mathsf{v_s \ = \ \dfrac{\sqrt{2 \cdot g \cdot h}}{3}}}}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\mathsf{v_s \ = \ \sqrt{v_x^2 \ + \ v_y^2} \ \therefore \boxed{\boxed{\mathsf{v_s \ = \ \dfrac{\sqrt{2 \cdot g \cdot h}}{3}}}}}[/tex3]