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Um pequeno bloco se encontra em repouso e começa a atuar sobre ele uma força cujo módulo depende do tempo segundo a equação [tex3]F=at[/tex3] . Entretanto, a direção se mantém constante conforme a figura abaixo

O trabalho da força [tex3]F[/tex3] até o instante em que o bloco perde contato com solo perfeitamente liso é de:

A) [tex3]\frac{m^{3}\cdot g^{4}\cdot corg^{2}\theta } {16\cdot a^{2}\cdot sen^{2}\theta }[/tex3]
B) [tex3]\frac{m^{3}\cdot g^{4}\cdot corg^{2}\theta } {8\cdot a^{2}\cdot sen^{2}\theta }[/tex3]
C) [tex3]\frac{m^{3}\cdot g^{4}\cdot corg^{2}\theta } {4\cdot a^{2}\cdot sen^{2}\theta }[/tex3]
D) [tex3]\frac{m^{3}\cdot g^{4}\cdot corg^{2}\theta } {2\cdot a^{2}\cdot sen^{2}\theta }[/tex3]
E) [tex3]\frac{m^{3}\cdot g^{4}\cdot corg^{2}\theta } {\cdot a^{2}\cdot sen^{2}\theta }[/tex3]

Resposta

GAB: B

Temos o módulo de [tex3]\mathsf{\vec{F}_{(t)}}[/tex3] dado por [tex3]\mathsf{F_{(t)} \ = \ a \cdot t.}[/tex3] Em notação vetorial, [tex3]\mathsf{\vec{F}_{(t)} \ = \ a \cdot t \cdot \Big(\cos(\theta) \hat{i} \ + \sen(\theta) \hat{j}\Big),}[/tex3] com [tex3]\theta[/tex3] constante.

O somatório de forças que atuam no bloco é:

[tex3]\mathsf{\sum \vec{F_i} \ = \ \vec{F}_{(t)} \ + \ \vec{P} \ + \ \vec{N} \ = \ a\cdot t \cdot \cos(\theta) \hat{i} \ + \ \Big(a \cdot t \cdot \sen(\theta) \ + \ N \ - \ m \cdot g \ \Big) \hat{j}}[/tex3]

Vamos então calcular o trabalho da força [tex3]\mathsf{\vec{F}_{(t)}}[/tex3] sobre o bloco de [tex3]\mathsf{t_i \ = \ 0}[/tex3] até um instante genérico [tex3]\mathsf{t:}[/tex3]

Sendo [tex3]\mathsf{\vec{R} \ = \ \dfrac{m \cdot d\vec{v}_{(t)}}{dt}}[/tex3] , tendo que [tex3]\mathsf{\vec{R} \ = \ a\cdot t \cdot \cos(\theta) \hat{i}:}[/tex3]

[tex3]\mathsf{m \cdot \dfrac{d\vec{v}_{(t)}}{dt} \ = \ a\cdot t \cdot \cos(\theta) \hat{i}}[/tex3]

Sabendo que o bloco partiu do repouso [tex3]\mathsf{\Big(\vec{v_{(0)}} \ = \ \vec{0}\Big):}[/tex3]

[tex3]\mathsf{\vec{v_{(t)}} \ - \ \cancelto{\vec{0}}{\vec{v_{(0)}}} \ = \ \dfrac{a \cdot \cos(\theta) \hat{i}}{m} \cdot \int\limits_{0}^{t} t dt}[/tex3]

[tex3]\boxed{\mathsf{\vec{v_{(t)}} \ = \ \dfrac{a \cdot \cos(\theta) \cdot t^2}{2 \cdot m} \hat{i}}}[/tex3]

Usando então que [tex3]\mathsf{\vec{v_{(t)}} \ = \ \dfrac{d\vec{s}_{(t)}}{dt}}[/tex3] , temos o deslocamento infinitesimal:

[tex3]\mathsf{d\vec{s}_{(t)} \ = \ \vec{v}_{(t)} \cdot dt \ = \ \dfrac{a \cdot \cos(\theta) \cdot t^2}{2 \cdot m} dt\hat{i}}[/tex3]

O trabalho de [tex3]\mathsf{\vec{F}_{(t)}}[/tex3] de [tex3]\mathsf{0}[/tex3] a [tex3]\mathsf{t}[/tex3] é:

[tex3]\mathsf{W_{F_{(t)}} \ = \ \int\limits_{0}^{t} \vec{F}_{(t)} \ \cdot \ d\vec{s}_{(t)}}[/tex3]

[tex3]\mathsf{W_{F_{(t)}} \ = \ \int\limits_{0}^{t} \ a\cdot t \cdot \Big(\cos(\theta), \sen(\theta) \Big) \cdot \Bigg(\dfrac{a \cdot \cos(\theta) \cdot t^2}{2 \cdot m} dt, 0\Bigg)}[/tex3]

[tex3]\mathsf{W_{F_{(t)}} \ = \ \int\limits_{0}^{t} \dfrac{a^2 \cdot \cos(\theta)^2}{2\cdot m} \cdot t^3 dt}[/tex3]

[tex3]\boxed{\mathsf{W_{F_{(t)}} \ = \ \dfrac{a^2 \cdot \cos(\theta)^2 \cdot t^4}{8 \cdot m}}}[/tex3]

Vamos então considerar o instante particular [tex3]\mathsf{t_f}[/tex3] em que o bloco está na iminência de perder o contato com o chão. Nessa situação, [tex3]\mathsf{\vec{N} \ = \ \vec{0}}[/tex3] e o bloco se mantém no equilíbrio vertical, sendo então que a resultante nele é [tex3]\mathsf{\vec{R} \ = \ a\cdot t \cdot \cos(\theta) \hat{i}.}[/tex3] , como já havíamos considerado.

Equilíbrio vertical [tex3]\rightarrow[/tex3]

[tex3]\mathsf{a \cdot t_f \cdot \sen(\theta) \ + \ \cancelto{0}{N} \ - \ m \cdot g \ = \ 0 \ \therefore \ \boxed{\mathsf{t_f \ = \ \dfrac{m \cdot g}{a \cdot \sen(\theta)}}}}[/tex3]

Portanto, substituindo para o trabalho:

[tex3]\mathsf{\mathsf{W_{F_{(t_f)}} \ = \ \dfrac{a^2 \cdot \cos(\theta)^2 \cdot t_f^4}{8 \cdot m}}}[/tex3]

[tex3]\mathsf{\mathsf{W_{F_{(t_f)}} \ = \ \dfrac{\cancel{a^2}}{8 \cdot \cancel{m}}} \cdot \dfrac{m^\cancelto{3}{4} \cdot g^4}{a^\cancelto{2}{4} \cdot \sen^2(\theta)} \cdot \underbrace{\cancel{\dfrac{cos^2(\theta)}{\sen^2(\theta)}}}_{cotg^2(\theta)}}[/tex3]

[tex3]\boxed{\boxed{\mathsf{W_{F_{(t_f)}} \ = \ \dfrac{m^3 \cdot g^4 \cdot cotg^2(\theta)}{8 \cdot a^2 \cdot sen^2(\theta)}}}}[/tex3]

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