IME/ITA ⇒ Plano Inclinado e decomposição de forças Tópico resolvido

[CarlGauss95]

Observe a figura a seguir. Os ângulos α e β são conhecidos, assim como a gravidade local g e a massa m do bloquinho. Todos os atritos são desprezíveis. Quando a trava das rodas é retirada, o vagão passa a se mover aceleradamente ladeira abaixo. No seu interior, o bloquinho parte do repouso, do topo da rampa de altura H, descendo ladeira abaixo. Determine o tempo gasto pelo bloquinho para atingir o piso do vagão em função de α, β, g e H.

Resposta

---

(2H/gsin²bcos a)_1/2

[Planck]

Olá, CarlGauss95.

Minha tentativa. O espaço percorrido será dado por:

[tex3]\mathrm{
s = s_0 + v_0t+ \frac{1}{2} a t^2 \implies \Delta s = \frac{1}{2} a t^2
}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\mathrm{
s = s_0 + v_0t+ \frac{1}{2} a t^2 \implies \Delta s = \frac{1}{2} a t^2
}[/tex3]

Isolando o tempo, vem que:

[tex3]\mathrm{
t = \sqrt{\frac{2\Delta s}{a}}
}[/tex3]

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[tex3]\mathrm{
t = \sqrt{\frac{2\Delta s}{a}}
}[/tex3]

Mas, o espaço percorrido pode ser escrito em função de [tex3]\beta[/tex3]

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[tex3]\beta[/tex3]

e [tex3]\text H,[/tex3]

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[tex3]\text H,[/tex3]

[tex3]\Delta \text s = \frac{\text H}{\sen \beta} :[/tex3]

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[tex3]\Delta \text s = \frac{\text H}{\sen \beta} :[/tex3]

[tex3]\mathrm{
t = \sqrt{\frac{2H}{a \sen \beta}}
}[/tex3]

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[tex3]\mathrm{
t = \sqrt{\frac{2H}{a \sen \beta}}
}[/tex3]

Agora, observe a análise das acelerações que fiz:

Plano Inclinado.png (104.28 KiB) Exibido 1658 vezes

E agora, no referencial do vagão apenas:

Plano Inclinado Referencial Acelerado.png (148.27 KiB) Exibido 1658 vezes

Observe que, [tex3]\text g \sen \alpha[/tex3]

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[tex3]\text g \sen \alpha[/tex3]

acelera tanto o vagão quanto tudo que está no seu interior, o que não é relevante para nossa análise, pois essa aceleração não irá variar o espaço do bloco de massa [tex3]\text m.[/tex3]

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[tex3]\text m.[/tex3]

Por outro lado, a componente [tex3]\text g \cos \alpha[/tex3]

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[tex3]\text g \cos \alpha[/tex3]

pode ser decomposta e atuar sobre o bloco produzindo deslocamento. Veja que essa componente não irá deslocar o plano inclinado dentro do vagão, apenas pressiona-lo contra o piso do vagão. Portanto, podemos afirmar que a aceleração resultante no bloco de massa [tex3]\text m[/tex3]

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[tex3]\text m[/tex3]

advém da componente [tex3]\text g \cos \alpha[/tex3]

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[tex3]\text g \cos \alpha[/tex3]

decomposto no referencial do vagão, como na segunda imagem. Disso, temos que:

[tex3]\mathrm{
t = \sqrt{\frac{2H}{a \sen \beta}}, \, a = g \cos \alpha \sen \beta
}[/tex3]

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[tex3]\mathrm{
t = \sqrt{\frac{2H}{a \sen \beta}}, \, a = g \cos \alpha \sen \beta
}[/tex3]

Ou seja:

[tex3]\mathrm{
t = \sqrt{\frac{2H}{g \cos \alpha \sen \beta \sen \beta}} \, \implies {\color{NavyBlue} \boxed{_{_{{⠀}_{⠀}}} {t = \sqrt{\frac{2\text H}{g \cos \alpha \sen^2 \beta }}}_{_{{⠀}_{⠀}}}^{{⠀}^{⠀}} }}
}[/tex3]

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[tex3]\mathrm{
t = \sqrt{\frac{2H}{g \cos \alpha \sen \beta \sen \beta}} \, \implies {\color{NavyBlue} \boxed{_{_{{⠀}_{⠀}}} {t = \sqrt{\frac{2\text H}{g \cos \alpha \sen^2 \beta }}}_{_{{⠀}_{⠀}}}^{{⠀}^{⠀}} }}
}[/tex3]

[CarlGauss95]

Planck, Boa mano! É isso aí! Estava em dúvida se agia no bloquinho a componente horizontal da aceleração do carro! Mas acaba que não né?!! Obrigado por sanar minhas incerteza!! Valeu mesmo

[Planck]

Planck, Boa mano! É isso aí! Estava em dúvida se agia no bloquinho a componente horizontal da aceleração do carro! Mas acaba que não né?!! Obrigado por sanar minhas incerteza!! Valeu mesmo

De nada! O que fiz foi identificar como a componente horizontal atuava dentro do vagão. Disso, percebi que ela teria o mesmo efeito para tudo no interior do vagão, inclusive para o plano inclinado. A questão para componente vertical é que a atuação é diferente sobre o bloco, justamente por ele estar em um plano inclinado.