Duas partículas idênticas com velocidades u e v, que formam ângulos α e β com a
reta que as une, estão a uma distância l uma da outra. A carga de cada partícula é q.
Determine a massa das partículas, sabendo que a distância mínima entre as duas, vale a.
Despreze a interação gravitacional.
Amigos, peço perdão pois coloquei o gabarito como anexo pois em latex não ficou muito legível...
IME/ITA ⇒ Lançamento e aproximação Tópico resolvido
Moderador: [ Moderadores TTB ]
Ago 2020
06
16:54
Lançamento e aproximação
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LucasPinafi 
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Ago 2020
07
10:09
Re: Lançamento e aproximação
Cara a ideia dessa questão é usar massa reduzida.
Vou introduzir aqui a noção de massa reduzida. Inicialmente, suponha que você tenha duas partículas interagindo mutuamente. Sendo assim, a força da partícula 1 sobre a partícula 2 é:
[tex3]\vec {F}_{21} = m_2 \vec a _2 [/tex3]
Da mesma forma, a força da partícula 2 sobre a 1 é:
[tex3]\vec F _{12} = m_1 \vec a _1[/tex3]
Porém, sabemos que [tex3]\vec{F} _{21} = -\vec{F}_{12}[/tex3] (terceira lei de Newton). Sendo assim, temos:
[tex3]\begin{cases} \vec a _2 = \frac{\vec F}{m_2} \\ \vec a _1 = -\frac{\vec F}{m_1} \end{cases} \Longrightarrow \vec a _2 - \vec a _1 =F\left( \frac 1 {m_1} + \frac 1 {m_2} \right) \Longrightarrow F = \frac{m_1m_2}{m_1+m_2}\vec a_r[/tex3]
Assim, note que se pararmos uma das partículas, ela sempre verá a outra se movendo em relação a ela com uma massa [tex3]\mu = m_1 m_2 /(m_1+m_2)[/tex3] . Essa justamente é a ideia de massa reduzida.
=================================================================================
Agora vamos a resolução do problema. Vamos parar uma das partículas (a da esquerda). Assim, a massa da outra será a massa reduzida, ou seja, [tex3]\mu = m^2/2m = m/2[/tex3] . Podemos: i) conservar a energia e II) o momento angular no referencial dessa partícula.
i) a conservação da energia dará:
[tex3]\frac 1 2 \mu v_r^2 + \frac{kq^2}{\ell^2} = \frac 1 2 \mu v_f^2 + \frac {kq^2}{d^2}[/tex3]
onde [tex3]v_f[/tex3] é a velocidade relativa final. Note que na máxima aproximação essa velocidade é perpendicular ao vetor posição relativa entre as partículas; [tex3]v_r[/tex3] é a velocidade relativa inicial. Podemos calcular essa velocidade da seguinte maneira: quando paramos a partícula, devemos adicionar uma velocidade (no início) [tex3]-\vec u[/tex3] . Colocamos também essa velocidade na outra partícula. Assim, ela ficará com uma velocidade [tex3]\vec v - \vec u[/tex3] . Aplicando a lei dos cossenos,
[tex3]v_r ^2 = v^2 + u^2 + 2uv \cos(\alpha + \beta)[/tex3]
II) Pela conservação do momento angular, temos
[tex3]L_i = \mu \ell \left[v \sen \beta - u \sen \alpha \right][/tex3]
No final
[tex3]L_f = \mu d v_f[/tex3]
Logo, [tex3]L_i=L_f[/tex3] donde tiramos [tex3]v_f[/tex3] . Com isso, em I) calculamos [tex3]m[/tex3] .
Vou introduzir aqui a noção de massa reduzida. Inicialmente, suponha que você tenha duas partículas interagindo mutuamente. Sendo assim, a força da partícula 1 sobre a partícula 2 é:
[tex3]\vec {F}_{21} = m_2 \vec a _2 [/tex3]
Da mesma forma, a força da partícula 2 sobre a 1 é:
[tex3]\vec F _{12} = m_1 \vec a _1[/tex3]
Porém, sabemos que [tex3]\vec{F} _{21} = -\vec{F}_{12}[/tex3] (terceira lei de Newton). Sendo assim, temos:
[tex3]\begin{cases} \vec a _2 = \frac{\vec F}{m_2} \\ \vec a _1 = -\frac{\vec F}{m_1} \end{cases} \Longrightarrow \vec a _2 - \vec a _1 =F\left( \frac 1 {m_1} + \frac 1 {m_2} \right) \Longrightarrow F = \frac{m_1m_2}{m_1+m_2}\vec a_r[/tex3]
Assim, note que se pararmos uma das partículas, ela sempre verá a outra se movendo em relação a ela com uma massa [tex3]\mu = m_1 m_2 /(m_1+m_2)[/tex3] . Essa justamente é a ideia de massa reduzida.
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Agora vamos a resolução do problema. Vamos parar uma das partículas (a da esquerda). Assim, a massa da outra será a massa reduzida, ou seja, [tex3]\mu = m^2/2m = m/2[/tex3] . Podemos: i) conservar a energia e II) o momento angular no referencial dessa partícula.
- figura.png (16.49 KiB) Exibido 1237 vezes
[tex3]\frac 1 2 \mu v_r^2 + \frac{kq^2}{\ell^2} = \frac 1 2 \mu v_f^2 + \frac {kq^2}{d^2}[/tex3]
onde [tex3]v_f[/tex3] é a velocidade relativa final. Note que na máxima aproximação essa velocidade é perpendicular ao vetor posição relativa entre as partículas; [tex3]v_r[/tex3] é a velocidade relativa inicial. Podemos calcular essa velocidade da seguinte maneira: quando paramos a partícula, devemos adicionar uma velocidade (no início) [tex3]-\vec u[/tex3] . Colocamos também essa velocidade na outra partícula. Assim, ela ficará com uma velocidade [tex3]\vec v - \vec u[/tex3] . Aplicando a lei dos cossenos,
[tex3]v_r ^2 = v^2 + u^2 + 2uv \cos(\alpha + \beta)[/tex3]
II) Pela conservação do momento angular, temos
[tex3]L_i = \mu \ell \left[v \sen \beta - u \sen \alpha \right][/tex3]
No final
[tex3]L_f = \mu d v_f[/tex3]
Logo, [tex3]L_i=L_f[/tex3] donde tiramos [tex3]v_f[/tex3] . Com isso, em I) calculamos [tex3]m[/tex3] .
Ser ̶m̶e̶l̶h̶o̶r̶ pior a cada dia
Ago 2020
17
05:12
Re: Lançamento e aproximação
Muito legal. Obrigado mesmo. Poderia me dizer de onde tirou/que aplicativo usou para fazer a imagem? Ficou muito limpaLucasPinafi escreveu: ↑Sex 07 Ago, 2020 10:09Cara a ideia dessa questão é usar massa reduzida.
Vou introduzir aqui a noção de massa reduzida. Inicialmente, suponha que você tenha duas partículas interagindo mutuamente. Sendo assim, a força da partícula 1 sobre a partícula 2 é:
[tex3]\vec {F}_{21} = m_2 \vec a _2 [/tex3]
Da mesma forma, a força da partícula 2 sobre a 1 é:
[tex3]\vec F _{12} = m_1 \vec a _1[/tex3]
Porém, sabemos que [tex3]\vec{F} _{21} = -\vec{F}_{12}[/tex3] (terceira lei de Newton). Sendo assim, temos:
[tex3]\begin{cases} \vec a _2 = \frac{\vec F}{m_2} \\ \vec a _1 = -\frac{\vec F}{m_1} \end{cases} \Longrightarrow \vec a _2 - \vec a _1 =F\left( \frac 1 {m_1} + \frac 1 {m_2} \right) \Longrightarrow F = \frac{m_1m_2}{m_1+m_2}\vec a_r[/tex3]
Assim, note que se pararmos uma das partículas, ela sempre verá a outra se movendo em relação a ela com uma massa [tex3]\mu = m_1 m_2 /(m_1+m_2)[/tex3] . Essa justamente é a ideia de massa reduzida.
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Agora vamos a resolução do problema. Vamos parar uma das partículas (a da esquerda). Assim, a massa da outra será a massa reduzida, ou seja, [tex3]\mu = m^2/2m = m/2[/tex3] . Podemos: i) conservar a energia e II) o momento angular no referencial dessa partícula.
figura.png
i) a conservação da energia dará:
[tex3]\frac 1 2 \mu v_r^2 + \frac{kq^2}{\ell^2} = \frac 1 2 \mu v_f^2 + \frac {kq^2}{d^2}[/tex3]
onde [tex3]v_f[/tex3] é a velocidade relativa final. Note que na máxima aproximação essa velocidade é perpendicular ao vetor posição relativa entre as partículas; [tex3]v_r[/tex3] é a velocidade relativa inicial. Podemos calcular essa velocidade da seguinte maneira: quando paramos a partícula, devemos adicionar uma velocidade (no início) [tex3]-\vec u[/tex3] . Colocamos também essa velocidade na outra partícula. Assim, ela ficará com uma velocidade [tex3]\vec v - \vec u[/tex3] . Aplicando a lei dos cossenos,
[tex3]v_r ^2 = v^2 + u^2 + 2uv \cos(\alpha + \beta)[/tex3]
II) Pela conservação do momento angular, temos
[tex3]L_i = \mu \ell \left[v \sen \beta - u \sen \alpha \right][/tex3]
No final
[tex3]L_f = \mu d v_f[/tex3]
Logo, [tex3]L_i=L_f[/tex3] donde tiramos [tex3]v_f[/tex3] . Com isso, em I) calculamos [tex3]m[/tex3] .
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