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Certo produto industrial constitui-se de uma embalagem rígida cheia de óleo, de dimensões L x L x d, sendo transportado numa esteira que passa por um sensor capacitivo de duas placas paralelas e quadradas de lado L, afastadas entre si de uma distancia ligeiramente maior que d, conforme a figura. Quando o produto estiver inteiramente inserido entre as placas, o sensor deve acusar um valor de capacitância C0. Considere, contudo, tenha havido antes um indesejado vazamento de óleo, tal que a efetiva medida da capacitância seja C = 3/4C0. Sendo dadas as respectivas constantes dielétricas do óleo, k = 2; e do ar, Kar = 1, e desprezando o efeito da constante dielétrica da embalagem, assinale a percentagem do volume de óleo vazado em relação ao seu volume original.
A
5%

B
50%

C
100%

D
10%

E
75%
Só digo uma coisa, Boa sorte para quem quer fazer ITA kkkkk

ASPIRADEDEU, boa noite !

[tex3]I. [/tex3]

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[tex3]I. [/tex3]

Capacitância se não houvesse vazamento:

[tex3]C = \frac{\varepsilon\cdot A}d[/tex3]

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[tex3]C = \frac{\varepsilon\cdot A}d[/tex3]

[tex3]\boxed{C_0=\frac{k_o\cdot \varepsilon_0\cdot L^2}d} [/tex3]

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[tex3]\boxed{C_0=\frac{k_o\cdot \varepsilon_0\cdot L^2}d} [/tex3]

[tex3]II. [/tex3]

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[tex3]II. [/tex3]

Com o vazamento, teremos uma situação com dois capacitores em paralelo, um com o ar como dielétrico e o outro com o óleo como dielétrico. Considerando que o nível de óleo desceu de uma altura h, temos:

[tex3]C'=C_1+C_2 [/tex3]

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[tex3]C'=C_1+C_2 [/tex3]

[tex3]C'=\frac{k_o\varepsilon_0 \(L-h\)L}d+\frac{k_{ar}\varepsilon _0h\cdot L}d[/tex3]

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[tex3]C'=\frac{k_o\varepsilon_0 \(L-h\)L}d+\frac{k_{ar}\varepsilon _0h\cdot L}d[/tex3]

[tex3]\frac{3C_0}4= \frac{\varepsilon_0L\[k_o\(L-h\)+k_{ar}h\]}d [/tex3]

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[tex3]\frac{3C_0}4= \frac{\varepsilon_0L\[k_o\(L-h\)+k_{ar}h\]}d [/tex3]

[tex3]\frac{3k_o\varepsilon_0L^2}{4d}= \frac{\varepsilon_0L\[k_o\(L-h\)+k_{ar}h\]}d [/tex3]

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[tex3]\frac{3k_o\varepsilon_0L^2}{4d}= \frac{\varepsilon_0L\[k_o\(L-h\)+k_{ar}h\]}d [/tex3]

[tex3]3k_oL=4k_oL-4k_oh+4k_{ar}h [/tex3]

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[tex3]3k_oL=4k_oL-4k_oh+4k_{ar}h [/tex3]

[tex3]6L=8L-8h+4h [/tex3]

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[tex3]6L=8L-8h+4h [/tex3]

[tex3]4h= 2L[/tex3]

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[tex3]4h= 2L[/tex3]

[tex3]\boxed{ h=\frac L2}[/tex3]

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[tex3]\boxed{ h=\frac L2}[/tex3]

[tex3]III.[/tex3]

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[tex3]III.[/tex3]

Logo, o volume vazado é:

[tex3]V'= L\cdot h\cdot d [/tex3]

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[tex3]V'= L\cdot h\cdot d [/tex3]

[tex3]V'=\frac{dL^2}2[/tex3]

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[tex3]V'=\frac{dL^2}2[/tex3]

[tex3]\boxed{\boxed{V'= 0,5V_0}}[/tex3]

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[tex3]\boxed{\boxed{V'= 0,5V_0}}[/tex3]

Matheusrpb Caramba, perfect !!!