IME/ITA ⇒ ITA 69 - MHS Tópico resolvido

[Deleted User 23699]

Sabendo-se que as coordenadas de uma partícula são dadas por
x = a sen(wt)
y = bsen(wt + theta)
podemos afirmar:

a) quando a = b o movimento da partícula é circular para qualquer theta
b) o movimento da partícula é harmônico simples somente quando theta for nulo
c) se a é diferente de b, o movimento da partícula é elíptico, qualquer que seja theta
d) quando theta = 180º, a trajetória é uma elipse com o eixo maior na direção de x, se a>b; e na direção de y se b>a;
e) nda

Resposta

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D (achei estranho... cheguei em E)

[Tassandro]

Zhadnyy,
Lembre da relação
[tex3]\sen(α+β)=\senα\cosβ+\senβ\cosα[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sen(α+β)=\senα\cosβ+\senβ\cosα[/tex3]

Desenvolvendo a equação da posição em y:
[tex3]y=b(\sen(ωt)\cosθ+\cos(ωt)\senθ)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]y=b(\sen(ωt)\cosθ+\cos(ωt)\senθ)[/tex3]

E x,
[tex3]\sen(ωt)=\frac{x}a\to\cos(ωt)=\sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sen(ωt)=\frac{x}a\to\cos(ωt)=\sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}}[/tex3]

Relacionando com as equações anteriores
[tex3]y=b\bigg(\frac{x}a\cosθ+\sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}}\senθ\bigg)\to\\
\bigg(\frac{y}b-\frac xa\cosθ\bigg)^2=\bigg(1-\frac{x^2}{a^2}\bigg)\sen^2θ\to\\
\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{2xy}{ab}\cosθ=\sen^2θ[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]y=b\bigg(\frac{x}a\cosθ+\sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}}\senθ\bigg)\to\\
\bigg(\frac{y}b-\frac xa\cosθ\bigg)^2=\bigg(1-\frac{x^2}{a^2}\bigg)\sen^2θ\to\\
\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{2xy}{ab}\cosθ=\sen^2θ[/tex3]

Veja se consegue agora.
Se [tex3]θ=π,[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]θ=π,[/tex3]

[tex3]y=-\frac ba\cdot x[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]y=-\frac ba\cdot x[/tex3]

[Deleted User 23699]

Tassandro

Cheguei exatamente nessa equação
Interpretei da seguinte forma:

Para este problema, isso representa um segmento de reta INCLINADO. Ok... uma elipse degenerada.
Todavia, uma elipse com eixo maior INCLINADO.
Por isso cheguei em letra E...

[Tassandro]

Zhadnyy,
Estava com pressa na hora que fiz a questão, mas analisando melhor agora, vi que a alternativa d faz sentido.
Como é uma reta descendente, se o a é maior que o b, considerando um intervalo (-c,c), a projeção no eixo x vai ser maior que a projeção no eixo y, se b>a, a projeção vai ser maior no eixo y.

Mas o que você pensou também está adequado.
Enfim, essa foi a minha tentativa.