IME/ITA ⇒ Irodov - Movimento Harmônico Simples e Termodinâmica Tópico resolvido

[Tassandro]

Um pistão de massa m duvide um cilindro (de comprimento 2d) contendo gás em duas partes iguais. Cada parte possui pressão [tex3]p_0[/tex3]

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[tex3]p_0[/tex3]

e volume [tex3]V_0.[/tex3]

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[tex3]V_0.[/tex3]

Suponha que o pistão é deslocado em uma pequena distância x e solto. Suponha que a área da secção transversal do pistão é igual a A.
Determine o período das oscilações do pistão, considerando o sistema adiabático com o gás possuindo coeficiente de poisson igual a [tex3]γ.[/tex3]

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[tex3]γ.[/tex3]

Resposta

---

[tex3]T=\frac{2π}{A}\sqrt{\frac{m\cdot V_0}{2p_0\cdotγ}}[/tex3]

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[tex3]T=\frac{2π}{A}\sqrt{\frac{m\cdot V_0}{2p_0\cdotγ}}[/tex3]

[Tassandro]

Sejam [tex3]F_1[/tex3]

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[tex3]F_1[/tex3]

e [tex3]F_2[/tex3]

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[tex3]F_2[/tex3]

as forças que atuam no pistão.
Podemos escrever a Segunda Lei de Newton para o movimento do pistão após o pequeno deslocamento:
[tex3]F_R=F_1-F_2=(p_1-p_2)A[/tex3]

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[tex3]F_R=F_1-F_2=(p_1-p_2)A[/tex3]

Para um processo adiabático, temos que
[tex3]pV^γ=constante[/tex3]

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[tex3]pV^γ=constante[/tex3]

Logo,
[tex3]p_0V_0^γ=p_1(V_0+A\cdot x)^γ=p_2(V_0-A\cdot x)^γ\\
\implies p_1=p_0\(\frac{V_0+Ax}{V_0}\)^{-γ}=p_0\(1-\frac{Axγ}{V_0}\)\\
\implies p_2=p_0\(1+\frac{Axγ}{V_0}\)\\
\implies F_R=\(p_0-\frac{p_0Axγ}{V_0}-p_0-\frac{p_0Axγ}{V_0}\)\cdot A\\
\therefore F_R=-\frac{2A^2p_0γ}{V_0}x[/tex3]

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[tex3]p_0V_0^γ=p_1(V_0+A\cdot x)^γ=p_2(V_0-A\cdot x)^γ\\
\implies p_1=p_0\(\frac{V_0+Ax}{V_0}\)^{-γ}=p_0\(1-\frac{Axγ}{V_0}\)\\
\implies p_2=p_0\(1+\frac{Axγ}{V_0}\)\\
\implies F_R=\(p_0-\frac{p_0Axγ}{V_0}-p_0-\frac{p_0Axγ}{V_0}\)\cdot A\\
\therefore F_R=-\frac{2A^2p_0γ}{V_0}x[/tex3]

Comparando com a equação geral do MHS, vem que a constante do movimento é dada por:
[tex3]k=\frac{2A^2p_0γ}{V_0}[/tex3]

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[tex3]k=\frac{2A^2p_0γ}{V_0}[/tex3]

Assim, o seu período valerá:
[tex3]T=2π\sqrt{\frac{m}{k}}=\frac{2π}{A}\sqrt{\frac{mV_0}{2p_0γ}}[/tex3]

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[tex3]T=2π\sqrt{\frac{m}{k}}=\frac{2π}{A}\sqrt{\frac{mV_0}{2p_0γ}}[/tex3]