IME/ITA ⇒ Vínculos geométricos Tópico resolvido

[Tassandro]

Uma barra lisa é posicionada fazendo um ângulo [tex3]α[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]α[/tex3]

com a horizontal. Um pequeno anel de massa [tex3]m[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]m[/tex3]

pode deslizará ao longa da barra. A pequena massa é conectada por um fio a uma massa [tex3]M[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]M[/tex3]

. Inicialmente o sistema está em repouso como na figura abaixo. Imediatamente após o sistema ser solto, qual a aceleração da massa [tex3]M[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]M[/tex3]

?

20200423_065114.jpg (3.49 KiB) Exibido 1176 vezes

Resposta

---

[tex3]\frac{g\sin^2α(M+m)}{M\sin^2α+m}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{g\sin^2α(M+m)}{M\sin^2α+m}[/tex3]

[Tassandro]

Seja [tex3]a_a[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a_a[/tex3]

a aceleração do anel, [tex3]a_e[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a_e[/tex3]

a aceleração da esfera, [tex3]T[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]T[/tex3]

a intensidade da força de tração no fio.
Pela Segunda Lei de Newton, podemos fazer que:
[tex3]Mg-T=Ma_e\\
T\sinα+mg\sinα=ma_a[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]Mg-T=Ma_e\\
T\sinα+mg\sinα=ma_a[/tex3]

Agora, perceba que [tex3]a_a\sinα=a_e[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a_a\sinα=a_e[/tex3]

Assim,
[tex3]T=M(g-a_e)\\
\implies M\sinα(g-a_e)+mg\sinα=m\cdot\frac{a_e}{\sinα}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]T=M(g-a_e)\\
\implies M\sinα(g-a_e)+mg\sinα=m\cdot\frac{a_e}{\sinα}[/tex3]

Após algumas simplificações algébricas, teremos que:
[tex3]\boxed{\boxed{\color{blue}a_e=\frac{g\sin^2α(M+m)}{M\sin^2α+m}}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\boxed{\boxed{\color{blue}a_e=\frac{g\sin^2α(M+m)}{M\sin^2α+m}}}[/tex3]