IME/ITA ⇒ (EFOMM 2020) Força Centrípeta Tópico resolvido

[Daianedesouza]

Um bloco de massa m é colocado sobre um disco que começa girar a partir do repouso em torno de seu centro geométrico com aceleração angular constante igual a [tex3]\alpha[/tex3]

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[tex3]\alpha[/tex3]

. Se o bloco está a uma distância d do centro, e o coeficiente de atrito estático entre o objeto e a superfície vale [tex3]\mu[/tex3]

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[tex3]\mu[/tex3]

, considerando a aceleração da gravidade igual a g, quanto tempo levará até que o bloco comece a deslizar sobre o disco?

Screen Shot 2019-08-21 at 00.04.45.png (39.66 KiB) Exibido 5483 vezes

[Planck]

Olá Daianedesouza,

Primeiramente, sabemos que ao realizar um movimento circula, o bloco terá aceleração tangencial e aceleração centrípeta. Além disso, na iminência do deslizamento do bloco, teremos um fato interessante:

[tex3]\text{F}_{\text{r}}=\text{F}_{\text{at}} \, \, \implies \, \, \mu \cdot \text{m} \cdot \text{g}= \text{m} \cdot \text{a}_{\text{r}}[/tex3]

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[tex3]\text{F}_{\text{r}}=\text{F}_{\text{at}} \, \, \implies \, \, \mu \cdot \text{m} \cdot \text{g}= \text{m} \cdot \text{a}_{\text{r}}[/tex3]

No entanto, sabemos que a aceleração resultante no movimento circular é dada por uma soma vetorial:

[tex3]\text{a}_{\text{r}} = \sqrt{\underbrace{\text{a}^2_{\text{t}}}_{\alpha \cdot \text{d}} + \text{a}^2_{\text{cp}} } \, \, \iff \, \, \text{a}_{\text{r}} = \sqrt{{(\alpha \cdot \text{d})^2} + (\omega^2 \cdot \text{d})^2}[/tex3]

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[tex3]\text{a}_{\text{r}} = \sqrt{\underbrace{\text{a}^2_{\text{t}}}_{\alpha \cdot \text{d}} + \text{a}^2_{\text{cp}} } \, \, \iff \, \, \text{a}_{\text{r}} = \sqrt{{(\alpha \cdot \text{d})^2} + (\omega^2 \cdot \text{d})^2}[/tex3]

Olhando atentamente nos termos, podemos fazer a seguinte substituição:

[tex3]\omega = \alpha \cdot \text{t} \, \, \implies \, \,\text{a}_{\text{r}} = \sqrt{{(\alpha \cdot \text{d})^2} + ( \alpha ^4 \cdot \text{t}^4 \cdot \text{d}^2)} [/tex3]

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[tex3]\omega = \alpha \cdot \text{t} \, \, \implies \, \,\text{a}_{\text{r}} = \sqrt{{(\alpha \cdot \text{d})^2} + ( \alpha ^4 \cdot \text{t}^4 \cdot \text{d}^2)} [/tex3]

Com isso, temos que:

[tex3]\mu \cdot\text{m} \cdot \text{g} = \text{m} \cdot \sqrt{{(\alpha \cdot \text{d})^2} + ( \alpha ^4 \cdot \text{t}^4 \cdot \text{d}^2)} \, \, \iff \, \, \mu^2 \cdot \text{g}^2 =(\alpha \cdot \text{d})^2+ ( \alpha ^4 \cdot \text{t}^4 \cdot \text{d}^2)[/tex3]

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[tex3]\mu \cdot\text{m} \cdot \text{g} = \text{m} \cdot \sqrt{{(\alpha \cdot \text{d})^2} + ( \alpha ^4 \cdot \text{t}^4 \cdot \text{d}^2)} \, \, \iff \, \, \mu^2 \cdot \text{g}^2 =(\alpha \cdot \text{d})^2+ ( \alpha ^4 \cdot \text{t}^4 \cdot \text{d}^2)[/tex3]

Nesse ponto, vamos manipular a equação para [tex3]\text{t}[/tex3]

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[tex3]\text{t}[/tex3]

:

[tex3]\text{t}^4 = \frac{\mu^2 \cdot \text{g}^2 - \alpha^2 \cdot \text{d}^2}{ \alpha ^4 \cdot \text{d}^2} \, \, \iff \, \, \text{t}^4 = \frac{\mu^2 \cdot \text{g}^2}{ \alpha ^4 \cdot \text{d}^2} - \frac{ \alpha^2 \cdot \text{d}^2}{ \alpha ^4 \cdot \text{d}^2} = \left(\frac{\mu \cdot \text{g}}{\alpha^2 \cdot \text{d}} \right)^2 - \frac{1}{\alpha^2}[/tex3]

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[tex3]\text{t}^4 = \frac{\mu^2 \cdot \text{g}^2 - \alpha^2 \cdot \text{d}^2}{ \alpha ^4 \cdot \text{d}^2} \, \, \iff \, \, \text{t}^4 = \frac{\mu^2 \cdot \text{g}^2}{ \alpha ^4 \cdot \text{d}^2} - \frac{ \alpha^2 \cdot \text{d}^2}{ \alpha ^4 \cdot \text{d}^2} = \left(\frac{\mu \cdot \text{g}}{\alpha^2 \cdot \text{d}} \right)^2 - \frac{1}{\alpha^2}[/tex3]

Dessa manipulação, obtemos que:

[tex3]\text{t} =\sqrt[4]{ \left(\frac{\mu \cdot \text{g}}{\alpha^2 \cdot \text{d}} \right)^2 - \frac{1}{\alpha^2}} \, \, \iff \, \, {\color{forestgreen} \boxed{_{_{{⠀}_{⠀}}} { \text{t} =\left[ \left(\frac{\mu \cdot \text{g}}{\alpha^2 \cdot \text{d}} \right)^2 - \frac{1}{\alpha^2} \right]^{\frac{1}{4}}}_{_{{⠀}_{⠀}}}^{{⠀}^{⠀}} }}[/tex3]

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[tex3]\text{t} =\sqrt[4]{ \left(\frac{\mu \cdot \text{g}}{\alpha^2 \cdot \text{d}} \right)^2 - \frac{1}{\alpha^2}} \, \, \iff \, \, {\color{forestgreen} \boxed{_{_{{⠀}_{⠀}}} { \text{t} =\left[ \left(\frac{\mu \cdot \text{g}}{\alpha^2 \cdot \text{d}} \right)^2 - \frac{1}{\alpha^2} \right]^{\frac{1}{4}}}_{_{{⠀}_{⠀}}}^{{⠀}^{⠀}} }}[/tex3]

[nathann]

Por que não podemos desprezar a influência da força tangencial, dado que ela é constante? Assim sendo, por que não se analisa apenas o instante quando a força centrípeta necessária for maior que o máximo atrito estático?

Qual a "pegadinha" nisso?