Física I ⇒ Energia Tópico resolvido

[Matheusrpb]

Uma corrente de comprimento l descansa, em parte, sobre uma mesa horizontal com coeficiente de atrito [tex3]\mu [/tex3]

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[tex3]\mu [/tex3]

, mantendo o máximo comprimento possível para o equilíbrio suspenso a partir da borda. É feita uma pequena perturbação e a corrente começa a deslizar devido a ação da força de gravidade sobre a parte da corrente que ficou pendurada fora da mesa. Que velocidade terá a corrente quando seu extremo superior atingir a borda da mesa ? Considere g como a aceleração da gravidade.

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Resposta

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[tex3]v = \sqrt{\frac{ g \cdot l}{1 + \mu}}[/tex3]

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[tex3]v = \sqrt{\frac{ g \cdot l}{1 + \mu}}[/tex3]

[LucasPinafi]

I) Cálculo da fração, f, que permite com que a corrente fique na iminência de cair [m = massa total da corrente]:
[tex3]mfg= m(1-f) g\mu \therefore f= (1-f) \mu \therefore f = \mu/(1+\mu ) [/tex3]

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[tex3]mfg= m(1-f) g\mu \therefore f= (1-f) \mu \therefore f = \mu/(1+\mu ) [/tex3]

II) Você pode pensar no sistema como sendo duas caixas penduradas por fios e uma polia. Porém, a massa dessas caixas é variável. Para um instante qualquer, a aceleração do sistema será dado por [x = comprimento da corrente na mesa]
[tex3]\begin{cases} m_ 1 g - T = m_1 a \\ T - m_2 g\mu = m_2 a \end{cases}\Longrightarrow g(m_1 - m_2 \mu ) = (m_1 +m_2 ) a \\ a = \frac{g(m_1 - m_2 \mu )}{m} \Longrightarrow a = \frac{g\left(\frac{L-x}{L}m - \frac x L m\mu \right)}{m} = g\left (1 - \frac x L (1+\mu ) \right ) [/tex3]

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[tex3]\begin{cases} m_ 1 g - T = m_1 a \\ T - m_2 g\mu = m_2 a \end{cases}\Longrightarrow g(m_1 - m_2 \mu ) = (m_1 +m_2 ) a \\ a = \frac{g(m_1 - m_2 \mu )}{m} \Longrightarrow a = \frac{g\left(\frac{L-x}{L}m - \frac x L m\mu \right)}{m} = g\left (1 - \frac x L (1+\mu ) \right ) [/tex3]

Note que [tex3]a[/tex3]

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[tex3]a[/tex3]

varia linearmente com x. Você pode montar o gráfico de a versus x e encontrar a velocidade quando x = 0 (note que o valor inicial de x vale fL, onde f é a fração encontrada no item I).
Observação:
[tex3]a = \frac{dv}{dt} = \frac{dv}{dx} \cdot \frac{dx}{dt} \Longrightarrow a = v \frac{dv}{dx} \therefore v \cdot dv = a \cdot dx \therefore \int_{v_0}^{v_f} v \cdot dv = \int_{x_0}^{x_f} a \cdot dx \Longrightarrow v_f ^2 - v_0^2 =2 \int_{x_0}^{x_f} a \cdot dx [/tex3]

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[tex3]a = \frac{dv}{dt} = \frac{dv}{dx} \cdot \frac{dx}{dt} \Longrightarrow a = v \frac{dv}{dx} \therefore v \cdot dv = a \cdot dx \therefore \int_{v_0}^{v_f} v \cdot dv = \int_{x_0}^{x_f} a \cdot dx \Longrightarrow v_f ^2 - v_0^2 =2 \int_{x_0}^{x_f} a \cdot dx [/tex3]

Essa última parcela é a generalização da equação de Torricelli. Note que essa última integral não é nada mais do que a área do gráfico a versus x. Se você montar o gráfico (ou calcular a integral) você vai chegar na resposta!