Olá
jpmp2702,
Inicialmente, por conservação da energia mecânica, podemos dizer que, para esfera, temos:
[tex3]\text{m}_{\text{esfera}} \cdot \text{g}\cdot \text {L} = \frac{\text{m}_{\text{esfera}} \cdot \text{v}^2}{2} \, \, \implies \, \, \text {v} = \sqrt {2 \cdot \text{g}\cdot \text {L}}[/tex3]
Com isso, podemos aplicar a ideia de conservação da quantidade de movimento:
[tex3]\text{Q}_{\text{i}} = \text{Q}_{\text{f}} \, \, \implies \, \, \text{m}_{\text{esfera}} \cdot \text{v} = \text{m}_{\text{bloco}} \cdot \text{v}_{\text{bloco}} + \text{m}_{\text{esfera}} \cdot \text{v'}_{\text{esfera}} \, \, \implies \, \, \text{m}_{\text{esfera}} \cdot ( \text{v} -\text{v'}_{\text{esfera}} ) = \text{m}_{\text{bloco}} \cdot \text{v}_{\text{bloco}}[/tex3]
Também ocorre a conservação da energia cinética:
[tex3]\frac{\text{m}_{\text{esfera}} \cdot \text{v}^2}{2} = \frac{\text{m}_{\text{bloco}} \cdot \text{v}_{\text{bloco}}^2}{2} + \frac{\text{m}_{\text{esfera}} \cdot \text{v'}_{\text{esfera}}^2}{2} \, \, \implies \, \, \text{m}_{\text{esfera}} \cdot (\text{v}-\text{v'}_{\text{esfera}})(\text{v}+\text{v'}_{\text{esfera}})=\text{m}_{\text{bloco}} \cdot \text{v}_{\text{bloco}}^2 [/tex3]
Podemos dividir por [tex3]\text{m}_{\text{esfera}} \cdot ( \text{v} -\text{v'}_{\text{esfera}} ) = \text{m}_{\text{bloco}} \cdot \text{v}_{\text{bloco}}[/tex3]
:
[tex3](\text{v}+\text{v'}_{\text{esfera}})= \text{v}_{\text{bloco}} [/tex3]
Voltando na primeira equação:
[tex3]\text{m}_{\text{esfera}} \cdot ( \text{v} -\text{v'}_{\text{esfera}} ) = \text{m}_{\text{bloco}} \cdot \text{v}_{\text{bloco}} \, \, \implies \, \, \text{m}_{\text{esfera}} \cdot ( \text{v} -\text{v'}_{\text{esfera}} ) = \text{m}_{\text{bloco}} \cdot (\text{v}+\text{v'}_{\text{esfera}})[/tex3]
Podemos manipular a equação e obter que:
[tex3]( \text{m}_{\text{esfera}} - \text{m}_{\text{bloco}}) \cdot\text{v} = ( \text{m}_{\text{esfera}} + \text{m}_{\text{bloco}}) \cdot\text{v'}_{\text{esfera}} \, \, \implies \, \, \text{v'}_{\text{esfera}} = \text{v} \cdot \frac{( \text{m}_{\text{esfera}} - \text{m}_{\text{bloco}})}{ ( \text{m}_{\text{esfera}} + \text{m}_{\text{bloco}}) }[/tex3]
Vamos voltar em [tex3](\text{v}+\text{v'}_{\text{esfera}})= \text{v}_{\text{bloco}}[/tex3]
:
[tex3](\text{v}+\text{v'}_{\text{esfera}})= \text{v}_{\text{bloco}} \, \implies \, \, \text{v}_{\text{bloco}} = \text{v} + \text{v} \cdot \frac{( \text{m}_{\text{esfera}} - \text{m}_{\text{bloco}})}{ ( \text{m}_{\text{esfera}} + \text{m}_{\text{bloco}}) } \, \, \implies \, \, \boxed{^{{⠀}^{⠀}}\text{v}_{\text{bloco}} = \text{v} \cdot \frac{(2 \cdot \text{m}_{\text{esfera}} )^{{⠀}^{⠀}}}{ ( \text{m}_{\text{esfera}} + \text{m}_{\text{bloco}}) }_{_{{⠀}_{⠀}}}}[/tex3]
Assim, obtemos que:
[tex3]\text{v}_{\text{bloco}} = \frac{2 \cdot \sqrt {2 \cdot \text{g} \cdot \text{L}} }{ 3}[/tex3]
Usando o teorema trabalho-energia cinética, onde o trabalho da força de atrito é igual a variação da energia cinética:
[tex3]- 2 \cdot \text{m} \cdot \text{g}\cdot \mu \cdot \text{d} = 0 - \frac{2 \cdot \text{m}\cdot \text{v}_{\text{bloco}}^2}{2} \, \, \implies \, \, \text{d} = \frac{\text{v}_{\text{bloco}}^2}{\mu \cdot \text{g} \cdot 2 }= \frac{4 \cdot {2 \cdot \text{g} \cdot \text{L}} }{9} \cdot \frac{9}{ \text{g} \cdot 2}[/tex3]
De onde obtemos que:
[tex3]{\color{forestgreen} \boxed{_{_{{⠀}_{⠀}}} \text{d} = 4 \text{ L }^{{⠀}^{⠀}} }}[/tex3]
Talvez eu tenha cometido um equívoco em alguma passagem, mas a ideia é essa.