IME/ITA(EN) dinâmica Tópico resolvido

Aqui deverão ser postadas questões desses vestibulares e de outras instituições militares (EN, CN, EsPCEx etc.).

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jpmp2702
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(EN) dinâmica

Mensagem não lida por jpmp2702 »

Uma pequena esfera E de massa m, presa por um fio inextensível e de comprimento L é abandonada na posição (1) assinalada na figura abaixo , passando a girar como um pêndulo simples, até que colide (elasticamente) com o bloco B, de massa 2m, inicialmente em repouso na posição (2), sobre um plano horizontal áspero com coeficiente de atrito u=1/9.
A distância percorrida pelo bloco B, após a colisão, até parar sobre o plano, é igual a:
A)L
B)2L
C)3L
D)4L
E)5L
Resposta

A
Anexos
DAC05B0B-487A-4C14-891C-CCB733A7CCE0.jpeg
DAC05B0B-487A-4C14-891C-CCB733A7CCE0.jpeg (55.62 KiB) Exibido 1047 vezes




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Planck
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Re: (EN) dinâmica

Mensagem não lida por Planck »

Olá jpmp2702,

Inicialmente, por conservação da energia mecânica, podemos dizer que, para esfera, temos:

[tex3]\text{m}_{\text{esfera}} \cdot \text{g}\cdot \text {L} = \frac{\text{m}_{\text{esfera}} \cdot \text{v}^2}{2} \, \, \implies \, \, \text {v} = \sqrt {2 \cdot \text{g}\cdot \text {L}}[/tex3]

Com isso, podemos aplicar a ideia de conservação da quantidade de movimento:

[tex3]\text{Q}_{\text{i}} = \text{Q}_{\text{f}} \, \, \implies \, \, \text{m}_{\text{esfera}} \cdot \text{v} = \text{m}_{\text{bloco}} \cdot \text{v}_{\text{bloco}} + \text{m}_{\text{esfera}} \cdot \text{v'}_{\text{esfera}} \, \, \implies \, \, \text{m}_{\text{esfera}} \cdot ( \text{v} -\text{v'}_{\text{esfera}} ) = \text{m}_{\text{bloco}} \cdot \text{v}_{\text{bloco}}[/tex3]

Também ocorre a conservação da energia cinética:

[tex3]\frac{\text{m}_{\text{esfera}} \cdot \text{v}^2}{2} = \frac{\text{m}_{\text{bloco}} \cdot \text{v}_{\text{bloco}}^2}{2} + \frac{\text{m}_{\text{esfera}} \cdot \text{v'}_{\text{esfera}}^2}{2} \, \, \implies \, \, \text{m}_{\text{esfera}} \cdot (\text{v}-\text{v'}_{\text{esfera}})(\text{v}+\text{v'}_{\text{esfera}})=\text{m}_{\text{bloco}} \cdot \text{v}_{\text{bloco}}^2 [/tex3]

Podemos dividir por [tex3]\text{m}_{\text{esfera}} \cdot ( \text{v} -\text{v'}_{\text{esfera}} ) = \text{m}_{\text{bloco}} \cdot \text{v}_{\text{bloco}}[/tex3] :

[tex3](\text{v}+\text{v'}_{\text{esfera}})= \text{v}_{\text{bloco}} [/tex3]

Voltando na primeira equação:

[tex3]\text{m}_{\text{esfera}} \cdot ( \text{v} -\text{v'}_{\text{esfera}} ) = \text{m}_{\text{bloco}} \cdot \text{v}_{\text{bloco}} \, \, \implies \, \, \text{m}_{\text{esfera}} \cdot ( \text{v} -\text{v'}_{\text{esfera}} ) = \text{m}_{\text{bloco}} \cdot (\text{v}+\text{v'}_{\text{esfera}})[/tex3]

Podemos manipular a equação e obter que:

[tex3]( \text{m}_{\text{esfera}} - \text{m}_{\text{bloco}}) \cdot\text{v} = ( \text{m}_{\text{esfera}} + \text{m}_{\text{bloco}}) \cdot\text{v'}_{\text{esfera}} \, \, \implies \, \, \text{v'}_{\text{esfera}} = \text{v} \cdot \frac{( \text{m}_{\text{esfera}} - \text{m}_{\text{bloco}})}{ ( \text{m}_{\text{esfera}} + \text{m}_{\text{bloco}}) }[/tex3]

Vamos voltar em [tex3](\text{v}+\text{v'}_{\text{esfera}})= \text{v}_{\text{bloco}}[/tex3] :

[tex3](\text{v}+\text{v'}_{\text{esfera}})= \text{v}_{\text{bloco}} \, \implies \, \, \text{v}_{\text{bloco}} = \text{v} + \text{v} \cdot \frac{( \text{m}_{\text{esfera}} - \text{m}_{\text{bloco}})}{ ( \text{m}_{\text{esfera}} + \text{m}_{\text{bloco}}) } \, \, \implies \, \, \boxed{^{{⠀}^{⠀}}\text{v}_{\text{bloco}} = \text{v} \cdot \frac{(2 \cdot \text{m}_{\text{esfera}} )^{{⠀}^{⠀}}}{ ( \text{m}_{\text{esfera}} + \text{m}_{\text{bloco}}) }_{_{{⠀}_{⠀}}}}[/tex3]

Assim, obtemos que:

[tex3]\text{v}_{\text{bloco}} = \frac{2 \cdot \sqrt {2 \cdot \text{g} \cdot \text{L}} }{ 3}[/tex3]

Usando o teorema trabalho-energia cinética, onde o trabalho da força de atrito é igual a variação da energia cinética:

[tex3]- 2 \cdot \text{m} \cdot \text{g}\cdot \mu \cdot \text{d} = 0 - \frac{2 \cdot \text{m}\cdot \text{v}_{\text{bloco}}^2}{2} \, \, \implies \, \, \text{d} = \frac{\text{v}_{\text{bloco}}^2}{\mu \cdot \text{g} \cdot 2 }= \frac{4 \cdot {2 \cdot \text{g} \cdot \text{L}} }{9} \cdot \frac{9}{ \text{g} \cdot 2}[/tex3]
De onde obtemos que:

[tex3]{\color{forestgreen} \boxed{_{_{{⠀}_{⠀}}} \text{d} = 4 \text{ L }^{{⠀}^{⠀}} }}[/tex3]

Talvez eu tenha cometido um equívoco em alguma passagem, mas a ideia é essa.

Última edição: Planck (Sex 28 Jun, 2019 12:22). Total de 1 vez.



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